Harris' blog

Le zéro n’est pas rien, l’infini est plusieurs,  Pi n’a pas l’air naturel…

Les nombres nous en font voir de toutes les grandeurs ! Irrationnels, imaginaires ou transcendants… Les mathématiciens ne cessent de découvrir des nombres aux propriétés étranges.

Et pourtant, quoi de plus ordinaire que les nombres ?

Ce n’est pas pour rien qu’on les qualifie de naturels !

Mais les mathématiciens ne se contentent pas de les utiliser pour compter : ils démontrent, imaginent, conceptualisent. Regroupant les nombres en fonction de leurs propriétés, les pairs, les impairs, les premiers etc. Ils construisent des structures dans lesquelles effectuer des calculs.

Après une évolution de plusieurs millénaires, ils ont abouti à des familles de plus en plus riches, des structures mathématiques de plus en plus éloignées de la réalité tangible ou habituelle.

Jusqu’à décrire des nombres complexes qui associent une partie réelle à une partie imaginaire ! Vaste programme.

“Les nombres recouvrent tous les possibles ; ce sont en quelque sorte des modèles d’univers qu’il s’agit de décoder”, se passionne le mathématicien Canadien Simon Plouffe.

La scansion de 1, 2, 3, 4, 5, 6… a rythmé nos années de maternelle. Le nombre de crayons de couleurs dans une trousse, le nombre de pages d’un livre etc.

Il s’agit du début de l’ensemble des entiers naturels, les entiers positifs, noté N. De l’Italien : Naturale

On dispose de 10 chiffres pour écrire les nombres entiers. cette technique de numérotation s’appelle la numération en base dix. Elle obéit à quelques règles simples :

• le premier chiffre à droite représente le chiffre des unités du premier ordre.
• dans cette écriture, chaque chiffre représente 10 fois moins que celui qui est à gauche.
• le chiffre 0 tient la place des ordres manquant.

Attention à ne pas confondre “nombre” et “chiffre” ! 547 est un nombre écrit avec les chiffres 4,5,7. C’est la même nuance qu’il y a entre “mot” et “lettre”.

De nos jours, la base de dix est la plus répandue. on utilise cependant d’autres bases comme la base soixante pour les heures, minutes, secondes ainsi que les bases deux, huit et seize en informatique.

Le premier choc vient à l’école élémentaire avec l’ensemble Q des rationnels, ces nombres qui s’écrivent comme un rapport de deux entiers – par exemple 1/5, 2/3 ou 3/7.

Leur développement décimal, c’est à-dire le nombre de chiffres après la virgule qu’ils comportent, peut être fini, on les appelle alors décimaux. Noté D

Ainsi 1/4 = 0,25, est un nombre décimal alors que 1/3 = 0,333333 … N’en est pas un, il ne finit jamais.

Deuxième choc avec les nombres négatifs :

Quand j’ôte trois oranges de deux oranges, il reste moins une orange !   (2 – 3 = -1)… On peut aussi imaginer monter deux marches et en descendre trois, ce qui revient à n’en descendre qu’une seule (-1) !

Concept tout sauf naturel, mais cela ne dérange nullement le mathématicien qui y voit un outil de calcul bien utile.

Toutefois, s’il est fait mention dès le VIe siècle en Inde, de négatifs, assimilés à des dettes, ils n’accéderont au statut de nombres à part entière qu’avec la construction de l’ensemble des entiers relatifs, regroupant les entiers positifs et négatifs, par Richard Dedekind (mathématicien allemand) à la fin du XIXe siècle.

Un ensemble noté Z. De l’allemand Zahlen : compter

Plus tard, au collège (mais historiquement dès l’Antiquité grecque), nous découvrons que certains nombres ne peuvent s’exprimer sous la forme d’un rationnel.

L’exemple le plus frappant est celui de la diagonale d’un carré dont le côté est égal à 1 : cette diagonale vaut √2, un nombre qui ne peut être écrit sous forme d’un quotient d’entiers. La démonstration par l’absurde est un petit jeu intellectuel que j’adore faire à mes élèves.

Et voilà comment les irrationnels entrent en scène. On utilise le terme « irrationnel » non pas parce que ces nombres manquent de logique, mais simplement parce qu’ils ne peuvent pas se représenter sous la forme d’un « ratio », une fraction de deux nombres entiers.

Munis des relatifs, des rationnels et des irrationnels, l’allemand Richard Dedekind et Georg Cantor (mathématicien Russe) formalisent à la fin du XIXè et au début du XXè siècle un grand ensemble, celui des réels (R).

Pourquoi “réels” ?

Parce qu’ils sont les plus proches de notre idée de la réalité.

Pensons à une droite graduée partant de moins l’infini à plus l’infini.

Sur cette droite, arrêtons-nous en différents endroits. A chaque arrêt, et à condition bien sûr d’imaginer que nous avons un instrument de mesure infiniment précis, nous pouvons marquer un point dont la distance au point 0 est un nombre réel. Où que nous soyons sur la droite, il existe un nombre, et c’est en ce sens qu’il est “réel”.

Malgré cela, les nombres réels défient eux aussi notre intuition, car ils possèdent une étrange propriété : on ne peut les dénombrer, les compter.

La notion de dénombrabilité a été introduite par Cantor, le magicien des nombres qui, dès 1874, a distingué deux sortes de nombres réels.

D’une part, les nombres algébriques, c’est-à-dire qui sont la solution d’une équation polynomiale à coefficient entier (comme 3x² + 5x – 1 = O ou x³ – 7 = O) ;

D’autre part, les nombres qui ne sont pas solution de telles équations, appelés transcendants.

Si Cantor montre que les nombres algébriques sont dénombrables (on peut les compter), il montre également que les nombres transcendants ne le sont pas.

Autrement dit, l’ensemble des nombres réels est une infinité non dénombrable, constituée en très grosse majorité de nombres transcendants, infinis, non dénombrables…

Bientôt quelques articles sur des nombres vedettes : Pi, racine de 2, le nombre d’or etc.