Harris' blog

Archive pour la catégorie ‘Mathématiques’

Juillet 2026 :

Réflexion 1
Les mathématiques ont une phrase que tout le monde traite comme vraie, mais personne n’a encore pu le prouver jusqu’à la fin.

Pendant des siècles, les gens observent un comportement curieux de nombres pairs : ils semblent toujours être obtenus en ajoutant deux nombres premiers. Par exemple, 10 est 3 + 7 et 20 est 3 + 17. Plus vous essayez, plus le mécanisme semble fonctionner.

Le problème c’est que “toujours”. En mathématiques, il ne suffit pas de vérifier autant de cas, ni de vérifier une quantité qu’un être humain ne pourrait jamais vérifier à la main. Pour transformer une idée en certitude, une preuve est nécessaire : un raisonnement valable pour chaque nombre possible, même ceux qu’aucun ordinateur ne pourrait jamais examiner un par un.

C’est la conjecture de Goldbach, l’une des énigmes les plus célèbres de la théorie des nombres. Sa formulation concerne chaque nombre pair supérieur à 2 et affirme qu’elle peut être écrite comme la somme de deux nombres premiers. Jusqu’à présent, aucune exception n’est apparue dans les essais effectués sur ordinateur, mais il n’y a toujours pas de preuve définitive que la règle s’applique à tous.

Et voici le paradoxe : dans la vie de tous les jours, une règle vérifiée dans un grand nombre de cas semble pratiquement certaine. Les mathématiques, par contre, séparent deux concepts que l’on confond souvent : “on n’a pas trouvé d’erreurs” et “on a prouvé qu’elles ne peuvent jamais exister”.

Ce n’est pas une faiblesse de la science. C’est son contrôle qualité porté au plus haut niveau. Un mathématicien ne peut pas clore l’affaire juste parce qu’une prédiction a fonctionné des millions, des milliards ou même plus de fois. Il doit laisser ouverte la possibilité que derrière le coin se cache un cas sans précédent, et chercher un sujet capable de couvrir même ça.

Pendant ce temps le travail ne s’arrête pas. Les calcifications continuent, les résultats partiels aident à réduire le champ et les mathématiciens comme Terence Tao étudient les problèmes liés à l’étude. Il y a aussi des tentatives de collaboration en ligne, car certaines questions sont si importantes que la contribution d’une seule personne ne suffit pas…

Réflexion 2

En maths, on n’a pas toujours besoin d’avoir la réponse parfaite du premier coup. L’approximation numérique consiste à s’approcher progressivement d’une solution. On part d’une estimation, on corrige, puis on recommence. C’est une idée très puissante : beaucoup de machines calculent ainsi. Voici 10 applications concrètes de l’approximation numérique dans la vraie vie :

Les calculatrices Quand une calculatrice affiche √10, elle ne devine pas. Elle utilise des méthodes qui approchent la réponse avec beaucoup de précision.

Les simulations météo : Prévoir le temps demande de découper l’espace et le temps en petits morceaux. La réponse est numérique, pas une formule magique.

Les ponts et bâtiments : Les ingénieurs utilisent des approximations pour tester des contraintes, des vibrations et des charges avant de construire.

Les moteurs de rechercheBeaucoup d’algorithmes classent des résultats par itérations successives : on améliore une estimation jusqu’à obtenir un classement utile.

L’intelligence artificielle : L’apprentissage d’un modèle repose souvent sur des corrections répétées : il se trompe, ajuste ses paramètres, puis recommence.

La finance : Pour estimer des intérêts, des remboursements ou des scénarios, on utilise souvent des calculs numériques plutôt que des formules simples.

La physique : Les mouvements réels sont rarement parfaitement simples. Les approximations permettent de traiter des situations complexes.

Ressource utile :https://www.khanacademy.org/science/physics

La médecine et les doses : Dans plusieurs modèles, on estime l’évolution d’une concentration dans le temps, avec prudence et en gardant le lien avec les données.

Ressource utile :https://www.khanacademy.org/math/differential-equations

Les graphiques : Tracer une courbe à l’écran, c’est souvent calculer beaucoup de points approchés et les relier proprement.

Ressource utile :https://www.desmos.com/calculator

L’apprentissage personnel : On peut apprendre comme une méthode numérique : essayer, corriger l’erreur, refaire, puis améliorer la précision.

Ressource utile :https://mathigon.org/activities

L’approximation n’est pas un aveu de faiblesse. C’est souvent la manière la plus intelligente d’avancer.

Réflexion 3

La combinatoire, c’est l’art de compter sans compter un par un.

Elle aide à savoir combien de possibilités existent quand on arrange, choisit, classe ou combine des objets. Le vrai défi n’est pas toujours le calcul. C’est de savoir si l’ordre compte, si la répétition est permise et si certaines contraintes changent tout.

Avant de te lancer, pose-toi ces questions :

• Est-ce qu’on choisit ou est-ce qu’on arrange ?

• L’ordre compte-t-il ?

• Peut-on répéter un élément ?

• Y a-t-il une contrainte spéciale ?

• Peut-on transformer deux éléments en un seul bloc ?

• Est-ce qu’on risque de compter deux fois la même chose ?

• Le résultat final paraît-il raisonnable ?

Voici 10 applications concrètes de la combinatoire dans la vraie vie :

1- Les mots de passe :

Plus il y a de choix possibles, plus un mot de passe est difficile à deviner. La combinatoire donne une idée de l’espace des possibilités.

2- Les placements dans une salle :

Si des personnes doivent s’asseoir avec des contraintes, on peut compter les arrangements sans tester toutes les chaises une par une.

3- Les tirages et loteries :

La combinatoire explique pourquoi certains événements semblent possibles, mais restent extrêmement rares.

4- Les emplois du temps :

Construire un horaire demande de combiner professeurs, salles, matières et contraintes. C’est un vrai problème combinatoire.

5- Les menus :

Avec quelques plats, boissons et desserts, le nombre de menus possibles peut vite devenir surprenant.

6- La génétique :

La transmission de certaines caractéristiques peut être comprise avec des combinaisons simples, avant d’aller vers des modèles plus complexes.

7- Les réseaux :

Choisir quelles connexions créer entre des points peut produire beaucoup de configurations différentes.

8- Les tests de qualité :

Pour tester toutes les combinaisons d’options d’un produit, il faut souvent réduire intelligemment le nombre de cas.

9- Les classements sportifs :

Un tournoi, un podium ou une phase de groupes cache beaucoup de possibilités d’ordres et de résultats.

10- Les jeux :

Dans les cartes, les dés ou les puzzles, compter les possibilités aide à ne pas se fier uniquement à l’intuition.

En combinatoire, le piège n’est pas de manquer de formules. Le piège, c’est de compter la même chose deux fois.

Quel exemple vous embrouille le plus : mots de passe, arrangements de personnes, tirages, menus, horaires ou jeux ?

Réflexion 4

Hier encore, pour les 25 ans de Steven, mon plus jeune fils, nous avons eu une discussion concernant les grands nombres, sujet que l’on aborde généralement en CM1 et de façon assez superficielle avouons-le.

L’exemple qu’il me donnait était la façon d’obtenir un et un seul arrangement de 52 cartes. La probabilité d’obtenir un arrangement donné étant de 1/52! En fait, cela correspond au nombre de permutations possible avec un jeu de cartes de 52, donc c’est juste le nombre de possibilités.

Je rappelle que 52! (on dit factoriel 52)= 52 x 51 x 50 x 49 x…x 1 = 8,065817517094389 e 67, soit un nombre à 68 chiffres ! Même si l’humanité toute entière mélangeait des cartes depuis 10 000 ans chaque seconde, on serait encore à un nombre minuscule en comparaison.. Trouver un tel arrangement serait donc impossible physiquement, mais possible mathématiquement.

Pour l’impossibilité dans les probabilités c’est un long débat, mais on peut affirmer qu’on rentre dans le domaine de l’impossible lorsque l’on dépasse une certaine probabilité, pour 1/100000000000000000000000000000000000000000.

Il est beaucoup plus sage de dire qu’il est impossible que juste dire “très peu probable”.

D’ailleurs, la notion d’impossible change d’un domaine à l’autre, la probabilité impossible en Biologie n’est pas la même qu’en physiologie, etc.

Pour l’imager, il me donnait la représentation mentale d’un homme parcourant le tour de la terre à pieds (circonférence de la terre 40 075 Kms), chaque pas (environ 75 cms) effectué ayant une durée d’ 1 milliard d’années. Cet homme a pour objectif de vider les océans avec une petite cuillère remplie d’eau et une seule pour chaque rotation… On imagine avec difficulté le temps que cela prendrait et c’est la raison pour laquelle je lui faisais remarquer que même si le résultat mathématique était juste, sa représentation mentale restait totalement inabordable pour le commun des mortels que nous sommes.

Aussi ai-je décidé de prendre quelques instants pour redéfinir simplement (si c’est possible) ce qu’on appelle en mathématiques “les grands nombres”.

Avec des -ions et des -iards

Quand on parle d’une quantité colossale, on utilise généralement les mots « million » ou « milliard » qui représentent respectivement les nombres 1 000 000 et 1 000 000 000. Pourtant ces nombres sont encore insignifiants comparés à ceux qui vont suivre.

Si nous prenons un million de milliards nous obtenons un billiard. Par exemple, la distance qui nous sépare du centre de notre galaxie est de 256 billiards de kilomètres.
Ce qui n’est pas très grand, si on la compare à la distance qui nous sépare de la Grande Ourse, environ 18 trilliards de kilomètres soit 18 mille milliards de milliards de kilomètres. Vous comprenez pourquoi les astrophysicien préfère évaluer les distances de l’univers en “années lumière” qui correspond à la distance parcourue par la lumière en une année sachant qu’elle parcourt 300 000 Kms en 1 seconde…

Et ce n’est rien ; nous n’en sommes qu’à des nombres de l’ordre d’un 1 suivi de 22 zéros. Il y a plus grand, beaucoup plus grand.
En voici la liste :

Million (1suivi de 6 zéros)

Milliard (1suivi de 9 zéros)

Billion (1suivi de 12 zéros)

Billiard (1 suivi de 15 zéros)

Trillion (1 suivi de 18 zéros)

Quatrillion (1 suivi de 24 zéros)

Quintillion (1 suivi de 30 zéros)

Sextillion (1 suivi de 36 zéros)

Septillion (1 suivi de 42 zéros)

Octillion (1 suivi de 48 zéros)

Nonillion (1 suivi de 54 zéros)

Décillion (1 suivi de 60 zéros)

Undécillion (1 suivi de 66 zéros)

Duodécillion (1 suivi de 72 zéros)

Tredécillion (1 suivi de 78 zéros)

Quattuordécillion (1 suivi de 84 zéros)

Quindécillion (1 suivi de 90 zéros)

Sexdécillion (1 suivi de 96 zéros)

Septendécillion (1 suivi de 102 zéros)

Octodécillion (1 suivi de 108 zéros)

Novemdécillion (1 suivi de 114 zéros)

Vigintillion (1 suivi de 120 zéros)

Centillion (1 suivi de 600 zéros)

Googol et Googolplex

 

Dans les années 40, Edward Kasner (USA) publie un livre «Mathematics and the Imagination» dans lequel apparaît le mot Googol. Ce mot ne serait pas inventé par Kasner mais il l’aurait repris de son neveu âgé à l’époque de 9 ans. Et oui ! GOOGLE votre moteur de recherches préféré tire son nom de ce nombre !
Le Googol est un 1 suivi de 100 zéros. Jusque là, rien d’exceptionnel puisqu’un Septendécillion est plus grand.

C’est le Googolplex qui nous intéresse : un 1 suivi de Googol zéros, pour être plus explicite :
un 1 suivi de 10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 zéros !!!

En supposant qu’on écrive sans interruption 3 chiffres par seconde, il nous faudrait environ 100 Quindécillions d’années pour retranscrire intégralement ce nombre, soit 100 milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards de milliards d’années !!! Même si l’espérance de vie est en augmentation, il ne faut pas rêver ! En fait, aucune quantité physique ne peut atteindre ce nombre, autrement dit : il ne sert à rien ! et c’est bien là le paradoxe des grands nombres. Ils n’ont aucune réalité physique dans notre monde des humains. 
D’autant plus qu’aujourd’hui les grands nombres se notent en écriture scientifique à l’aide de puissances de 10 qui suffisent amplement aux scientifiques !

La notation de Steinhaus

Mais la folie des grands nombres n’en est qu’à ses prémices. En 1963, un mathématicien polonais, Władysław Hugo Dionizy Steinhaus, invente une notation en cascade :
a dans un triangle pour a^a, a dans un carré pour a dans a triangles et a dans un cercle pour a dans a carrés. Cela donne par exemple :

Pour imaginer les nombres gigantesques que la notation de Steinhaus permet de construire, il suffit d’essayer de comprendre le nombre 2 dans un cercle :

On voit qu’il n’est pas raisonnable de tenter de retrouver une écriture décimale de ce nombre. C’est pourtant l’un des plus petits de cette famille. Imaginez ce que représente par exemple un 100 dans un cercle !

De la notation de Knuth au nombre de Graham

En 1976, un informaticien américain inventeur du langage TeX, Donald Knuth, propose une notation par étages à base de flèches.
a↑b = a^b
a↑↑b = a↑a↑…↑a (b fois)
a↑↑↑b = a↑↑a↑↑…↑↑a (b fois)
Et ainsi de suite…
Par exemple :
2↑↑3=2↑2↑2 = 2↑2² = 2²² = 4194304
3↑↑↑3 = 3↑↑3↑↑3 = 3↑↑(3↑3↑3) = 3↑↑(3²⁷) = 3↑↑7 625 597 484 987 = 3↑3↑…↑3 (7 625 597 484 987 fois) = 3^{33333. . . .} en élevant à la puissance 3, rien que 7 625 597 484 987 fois !

Le mathématicien anglais John Horton Conway poursuit le délire de Knuth en généralisant sa notation avec un nouveau paramètre :
a→b→c = a↑…↑b avec c flèches entre a et b
Ainsi par exemple :
2→3→4 = 2↑↑↑↑3
On imagine bien les nombres extraordinairement grands qu’il est possible de noter de façon très réduite.

Quant au nombre de Graham, du mathématicien américain Ronald Graham, il dépasse les frontières de l’imagination… si ce n’est pas déjà fait !
Le nombre de Graham est le 65e terme de la suite :
u₀ = 4
u₁ = 3→3→u₀
u₂ = 3→3→u₁
…
On en connait tout de même ses dix derniers chiffres : …2464195387

Ronald Graham
Finissons ce petit article par un nombre plus modeste mais au joli nom d’Asankhyeya (1 suivi de 140 zéros) dont les origines sont bouddhiques et qui était supposé être le plus grand.

 

Voici quelques liens sur le sujet :

• NOMBRES – Curiosités, théorie et usages où l’on retrouve tous ces grands nombres accompagnés d’exemples et un prolongement vers les notations de Knuth et Conway qui dépassent les frontières de l’imagination.
• miakinen.net définitions, écritures et un peu d’histoire.

« En mathématiques, plus par plus font plus, alors que le mot oui multiplié par deux équivaut toujours à une négation. »

L’écrivaine Amélie Nothomb (romancière belge d’expression française, née en 1966) résume bien en cette phrase la logique des mathématiques dans son rapport à la langue.

Comment peut-on parler des sciences ? En quelle langue ?

Les mathématiques, elles-mêmes, ne sont-elles pas également une forme de langage universel ?

La langue des sciences         

Revenons plusieurs siècles en arrière, vers le VIIe siècle av. J-C., au moment où les grandes cultures antiques s’ouvraient aux connaissances et où les sciences se développaient. La science « s’exprimait » alors en langue grecque et était intimement liée à la philosophie. Elle réunissait bon nombre de disciplines comme les mathématiques, la chimie, la physique, la biologie, la mécanique, l’optique, la pharmacie, l’astronomie, l’économie, l’archéologie, la sociologie…

Étymologiquement, le mot « science » vient d’ailleurs du latin « scientia », qui signifie « connaissance », lui-même issu du verbe « scire » (« savoir »), qui désigne à l’origine la faculté mentale propre à la connaissance.

Outre le latin, une langue très importante dans le monde des sciences, mais surtout des mathématiques est bien l’arabe. C’est grâce d’ailleurs à leurs traducteurs que l’on peut, dès le XIIIe siècle, redécouvrir les auteurs grecs anciens, traduits de l’arabe vers le latin.

Après la Renaissance et le début de la désuétude de la langue latine, les langues communes commencent à prendre le pas dans le domaine des sciences, sans pour autant les multiplier à l’infini : bien que les lettrés européens étaient tous, plus ou moins à cette époque, polyglottes, il ne s’agissait pas d’entraver la circulation des idées par le biais d’obstacles linguistiques.

Au XIXe siècle, la science parlait donc anglais, allemand, français et italien. Un siècle plus tard, l’allemand dominait la physique et la chimie (notamment avec les travaux d’Albert Einstein) alors que les mathématiques devenaient majoritairement francophones. Dans la moitié du XXe siècle, au cours des deux guerres mondiales, les principaux protagonistes (la France et l’Allemagne) ont vu leur suprématie dans ce domaine relayée au second plan, en faveur des États-Unis qui ont donc pu imposer la langue anglaise comme dominante en sciences aussi bien que dans la culture mondiale.

Le russe et le japonais, ainsi que le suédois ont eu quelques moments de gloire, mais ont été rapidement évincés, là aussi, en faveur de la langue internationale : l’anglais, qui subsiste, de nos jours encore, la première langue dans le domaine scientifique.

Les mathématiques, une langue vivante comme les autres ?

Que faut-il pour être une langue ? Avoir une grammaire et des symboles, mais aussi être en constante évolution dans ses concepts et ses règles. En ce sens, les mathématiques apparaissent bien comme une forme de langue. Il convient toutefois de nuancer ce propos.

Le terme « d’écriture » mathématique semblerait plus juste que celui de « langage » du fait que celle-ci est quasiment exclusivement de forme écrite (il n’y a pas de forme mathématique orale) : contrairement aux langues traditionnelles qui n’ont pas forcément besoin d’être retranscrites pour être comprises, parler suffit, les mathématiques doivent être sous forme scripturale et pas verbale. Essayez d’écouter quelqu’un faire sa démonstration mathématique jusqu’au bout et vous verrez que c’est bien plus simple à lire qu’à entendre !.

La « grammaire » des mathématiques est assez minimaliste : ici, pas de sujet (dans une démonstration, le « je » est hors-sujet), mais plutôt une objectivisation : on manipule des objets, des formes, des figures, des concepts, des formules où tout sentiment personnel est annihilé. Aucune émotion ni subjectivité ne subsiste et où le seul temps dominant est celui du présent, qui représente la vérité intemporelle : le passé et le futur sont inexistants.

Le lexique et le vocabulaire propre aux mathématiques est sans aucune ambiguïté. Si en français, par exemple – ou même dans n’importe quelle autre langue, on raffole des sens multiples à un mot, en langage mathématique, impossible d’être approximatif : précision et exactitude sont les maîtres-mots.

En effet, souvenez-vous des Exercices de style (1947) de l’écrivain français Raymond Queneau qui racontait, de 99 façons différentes exactement la même histoire… maintenant, essayez de raconter de plusieurs manières différentes le théorème de Pythagore… impossible ! Les mathématiques sont une science exacte, la logique est là, avec un vocabulaire spécifique et adapté de façon unique et exclusive.

Finalement

Tour à tour grecques, latines, arabes, allemandes, italiennes, françaises puis anglaises, les sciences, et plus particulièrement les mathématiques ont pu expérimenter bon nombre de langues pour exprimer ses cncepts au fil du temps.

Cependant, il ne faut pas perdre de vue que les mathématiques, par leur rigueur, logique, objectivité et insensibilité peuvent néanmoins prétendre difficilement au titre de langue vivante à part entière. Certes, elles présentent plusieurs critères qui pourraient les laisser s’y assimiler, mais leur manque de personnalisation sensitive et leur rigueur de la précision crée un vide émotionnel qui manque alors à la vivacité d’une langue, car après tout, n’est-ce pas l’ambiguïté et la diversité qui font d’une langue toute sa beauté, sa poésie et sa souplesse?

 

Sources

La science, Wikipedia, https://fr.wikipedia.org/wiki/Science

Les maths sont-elles un langage ? http://webinet.cafe-sciences.org/articles/les-maths-sont-elles-un-langage/

La langue de chez nous, http://images.math.cnrs.fr/La-langue-de-chez-nous.html

Année 2018

Mathématiques : sujet Bac maths 2018

Physique-chimie : sujet Bac 2018 physique-chimie

Mathématiques : corrigé du 23/06/2018

Physique-chimie : corrigé du 23/06/2018

Introduction :

Nombre d’or, Section dorée, Divine proportion et autres appellations mystiques… sont des dénominations qui désignent un rapport arithmétique : le nombre d’or.

L’objectif de cet article n’est pas de redonner de quelconque lettres de noblesse à ce nombre, mais d’apporter quelques informations au lecteur. Cet article s’adresse à toute sorte de lecteurs : Du néophyte qui récupérera ce qui l’intéresse au plus calé en mathématiques.

Le nombre d’or n’est ni une mesure, ni une dimension, c’est simplement un rapport entre deux grandeurs homogènes.

Jean-Paul Delahaye, mathématicien à l’université de Lille, affirme (pour la Science Août 1999) que le chemin des mathématiques à la numérologie est dangereux parce que riche en interprétations…  En effet des milliers de pages ont été écrites sur le nombre d’or, baptisé Φ. On le désigne par la lettre grecque ( phi ) en hommage au sculpteur grec Phidias (né vers 490 et mort vers 430 avant J.C) qui décora le Parthénon à Athènes et c’est Théodore Cook qui introduisit cette notation en 1914. 

Il serait connu depuis la nuit des temps. On le retrouve chez les peintres du début du siècle, dans les cathédrales gothiques, sur les façades des temples grecs et même au cœur de la Grande Pyramide. On dit qu’il aurait même été transmis de bouche de pythagoriciens à oreilles d’initiés, comme un secret universel et immuable (il n’était pas considéré comme un nombre puisque seuls les entiers sont des nombres chez les grecs).

Que peuvent bien avoir en commun des phénomènes naturels aussi différents que l’agencement des graines d’une fleur de tournesol, l’élégante spirale dessinée par la coquille de certains mollusques et les bras de la Voie lactée, la galaxie qui nous accueille ? Quelle règle géométrique d’une inégalable harmonie se cache dans l’œuvre de grands artistes et architectes, de Vitruve à Le Corbusier en passant par de Vinci et Salvador Dali ? Aussi incroyable que cela puisse paraître, la réponse à ces deux questions est un simple nombre. Un nombre d’une humble apparence, qui apparaît continûment dans toutes les représentations naturelles et artistiques. Reproduire ce nombre à l’écrit est littéralement impossible, non pas parce qu’il est excessivement grand (il est à peine supérieur à 1) mais parce qu’il est composé d’un nombre infini de décimales, qui de surcroît ne suivent aucune règle.

Le nombre d’or est une proportion, définie initialement en géométrie comme l’unique rapport a/b entre deux longueurs a et b telles que le rapport de la somme a + b des deux longueurs sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b) c’est-à-dire lorsque :

Ainsi si a et b sont les deux grandeurs alors nous aurons :

 

alors, a/b = 1 + b/a
pour simplifier, prenons comme variable x = a/b.
alors nous obtenons :
x = 1 + 1/x
x – 1 – 1/x = 0
comme x est non nul, nous obtenons l’équation suivante que nous noterons
(E) :       x2 – x – 1 = 0
qui admet comme racine positive :
x = que nous notons Φ soit approximativement : 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 720 309 179 805 762 862 135 448 622 705 260 462 189 024 497 072 072 041…

Ce nombre fait partie de la famille des nombres irrationnels (que l’on ne peut pas écrire sous une forme fractionnaire).

Démonstration :

Pour le démontrer, je raisonner par l’absurde et je vais supposer que φ est rationnel, donc on peut écrire φ = a/b avec a et b premiers entre eux, et on devrait arriver à une contradiction.

Posons c = 2a−b ; on vérifie que le plus grand commun diviseur de c et b est 1 ou 2. Si (√5+1)/2 = a.b, alors √5 = (2a−b)/b = cb, c’est-à-dire 5b² = c² (1).

Il en résulte que c² est divisible par 5. Par suite (attention, c’est le point-clé de la démonstration !), c est divisible par 5 (de sorte que c² est en fait divisible par 25). Il existe donc un entier f tel que c = 5f ; on peut re-écrire (1) sous la forme 5b² = 25f², de sorte que b² = 5f² (2).

En répétant le même raisonnement, on voit qu’il existe un entier g tel que b = 5g.

En comparant les égalités c = 5f, b = 5g avec l’hypothèse impliquant que b et c n’ont pas de diviseur commun autre que 1 ou 2, on voit bien qu’il y a une contradiction ; c’est donc l’hypothèse de l’existence d’une paire a,b avec φ = a/b qui est absurde.

A première vue la « divine proportion » ne paraît pas trop impressionnante. À la vue de la racine de 5, un œil entraîné saurait qu’il y a anguille sous roche. En effet, cette racine présente une série de propriétés qui lui valurent le qualificatif peu aimable de nombre « irrationnel » – une classe spéciale de nombres dont nous aurons l’occasion de reparler plus précisément.

Nombre d’or et géométrie:

À la recherche du caractère divin du nombre d’or, nous pouvons tenter de l’approcher par une autre voie : celle de la géométrie.

On appelle division en moyenne et extrême raison la division d’un segment AB par un point intérieur P tel que AB/AP = AP/PB.

On dit encore que P est la section dorée du segment AB. Le découpage d’un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en « extrême et moyenne raison ».

Remarquons aussi que AP est la moyenne géométrique de AB et de PB. On peut vérifier que cette condition impose que les rapports AB/AP et AP/PB soient égaux au nombre d’or.

On dit souvent que pour l’œil, la division en moyenne et extrême raison est la plus agréable. Ceci rend le nombre d’or très important en architecture.

Autre exemple :

Il nous faut pour cela dessiner un rectangle dont la mesure du grand côté vaut celle du petit multipliée par 1,618 ; c’est-à-dire un rectangle dont la proportion des deux côtés est le nombre d’or (du moins sa valeur approximative). Si nous le faisons correctement, nous devrions arriver à un résultat similaire au suivant :

Soit un rectangle de longueur L, de largeur c. Ôtons lui un carré de côté C et on obtient :

Le rectangle est dit de divine proportion si pour ce rectangle comme pour le rectangle qu’il reste une fois le carré ôté, le rapport entre longueur et largeur est le même. On démontre que ce rapport ne peut alors être que le nombre d’or! Autrement dit :

 

Un rectangle qui répondrait à ces caractéristiques serait un « rectangle d’or ». À première vue, il peut ressembler à un rectangle banal. Faisons cependant une petite expérience avec deux cartes de crédit quelconques. Si nous disposons la première à l’horizontale et la seconde à la verticale, et que nous les alignons selon leurs bases, nous aurons ceci :

En effet, si nous traçons la diagonale de la première carte et la prolongeons sur la deuxième, aussi incroyable que cela paraisse, elle aboutit pile au sommet opposé de cette dernière. Si nous répétons l’expérience avec deux livres de même format, en particulier des manuels ou des livres de poche, il est fort probable que nous obtenions le même résultat. Cette caractéristique est propre aux rectangles d’or de même taille.

Ainsi, de nombreux objets de forme rectangulaire qui font notre quotidien ont été façonnés en fonction de la divine proportion. Simple hasard ? Peut-être. À moins que les rectangles et les autres formes géométriques qui respectent cette proportion ne soient, pour une raison ou pour une autre, particulièrement harmonieux.

 

Le nombre d’or, et la géométrie des polygones réguliers :

Le pentagone régulier et le pentagramme :

Dans un cercle, on peut inscrire deux pentagones réguliers : un pentagone régulier convexe (en rouge sur le dessin), et un pentagone régulier étoilé (en bleu).

On peut montrer que le rapport du côté du pentagone étoilé au côté du pentagone convexe est égal au nombre d’or (AC / AB). Le pentagone régulier étoilé – qu’on appelle aussi pentagramme était le symbole des Pythagoriciens.

Le décagone régulier : Dans un cercle, on peut inscrire deux décagones réguliers, le décagone régulier convexe et le décagone régulier étoilé.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Le rapport du côté du décagone étoilé au rayon du cercle est égal au rapport du rayon du cercle par le côté du décagone convexe et est égal au nombre d’or!

Le nombre d’or véritable petit nirvana arithmétique aurait même été une voie privilégiée de communication avec l’au-delà… C’est vous dire !

 

Architecture et nombre doré :

L’encre a déjà abondamment coulé pour lever le voile sur le mystère que cache le sourire le plus célèbre de l’histoire de l’art. Mais on peut aussi envisager une solution géométrique à l’énigme. Voyons ce qui se passerait si nous superposions plusieurs rectangles d’or sur le visage de la belle Joconde :

Léonard de Vinci avait-il en tête la proportion d’or quand il réalisa son œuvre maîtresse ? L’affirmer serait aventureux. Il serait moins risqué de se contenter de dire que le génie florentin accordait une grande importance à la relation entre l’esthétique et les mathématiques. Nous laisserons cette question de côté pour le moment. Mais précisons tout de même que Léonard réalisa les illustrations d’une œuvre au contenu purement mathématique, écrite par son ami Luca Pacioli et intitulée De divina proportione, c’est-à-dire La Divine Proportion.

Aujourd’hui, De Vinci n’est plus le seul artiste dont l’œuvre laisse entrevoir les diverses manifestations de la proportion d’or, que ce soit à travers le rapport des côtés d’un rectangle ou dans des formes géométriques plus complexes. De nombreux peintres ont fait appel après lui à ces fondements théoriques. En témoignent le pointilliste Georges Seurat ou le préraphaélite Edward Burne-Jones. Salvador Dali, quant à lui, réalisa avec sa toile La Cène une œuvre extraordinaire dans laquelle la divine proportion joue un grand rôle. Il ne s’agit pas seulement des dimensions de la toile, 268 par 167 cm, soit un rectangle d’or quasi parfait, mais surtout du monumental dodécaèdre qui préside la scène sacrée. Les solides réguliers qui comme celui-là s’inscrivent parfaitement dans une sphère sont intimement liés au nombre d’or, comme nous le verrons dans le troisième chapitre.

La toile Une baignade à Asnières (1884) de Georges Seurat est un rectangle d’or. Certains éléments qui le forment sont eux- mêmes insérés dans des rectangles d’or, comme le montrent les lignes blanches ci-dessus.

De nombreux tableaux seraient conçus selon les règles de la “divine proportion” (expression datant de 1509 avec Léonard de Vinci). Parmi les artistes de la Renaissance, Dürer est un de ceux qui connaissait les mathématiques. Il fit évoluer les proportions de “ses nus d’Adam et Eve” (figure ci-dessous), entre 1504 et 1507 après avoir été initié à la “secretissima scienta” par un maître dont il ne voulut pas révéler le nom mais qui fut sans doute le frère franciscain Luca Pacioli qui publia en 1494 la grande encyclopédie du XVe siècle.

Certains peintres comme Salvador Dali (Sacrement de la dernière cène), la composition se devait alors de mettre en valeur le sujet tout en produisant une circulation du regard afin de créer, au cœur de la toile, une harmonie absolue.
Dali a placé La Cène dans un dodécaèdre régulier, symbole de l’Univers pour Platon. Le dodécaèdre possède 12 faces et il y a 12 apôtres !
L’organisation du tableau suit la règle de proportion régie par le nombre d’or. Le point de fuite est situé à la tête du Christ.

Cirque de Georges Seurat (Musée d’Orsay 1890-1891).
Les lignes horizontales tracées dans le tableau ont des grandeurs proportionnelles à Φ. Il en serait de même pour la loge délimitée par des lignes de couleur rouge vif formant un rectangle d’or. L’utilisation du nombre d’or dans ce tableau est opposée aux lignes courbes du personnage central du tableau ainsi qu’aux autres acrobates. Le nombre d’or met donc en valeurs les lignes géométriques des bancs.

On le retrouve également dans des rythmes musicaux
Aux mesures traditionnelles à deux ou à trois temps, 2/1 ou 3/2 s’ajoutent des éléments rythmiques de type 5/3 ou 8/5 (jazz ou musique orientale…)
Nous retrouvons la suite 1-1 2-3-5-8… de Fibonacci.

Ou dans des structures musicales
De nombreux exemples montrent que la proportion des diverses parties d’une œuvre est souvent réglée dans le rapport 8/5, voisin de ?. C’est le cas chez Haydn, Mozart ou Beethoven.

Voir même des rythmes poétiques
Dans la métrique des vers, soit par la césure, soit par l ’alternance de vers ayant un nombre de pieds différents, nous retrouvons les nombres de la suite traditionnelle de Fibonacci.

Que j ’aime voir, chère indolente,
De ton corps si beau, (8/5)
Charles Beaudelaire

Dans la nuit éternelle | emportés sans retour ( ou 1/1)
Ne pourrons nous jamais sur l ’océan des âges.
Jeter l ’ancre un seul jour (12/6=2/1)
Lamartine

Avant de me dire ta peine O poète ! En es-tu guéri ? La Muse (12/8 = 3/2)
Alfred de Musset

En réalité avec quelques approximations il est très facile d’approcher le nombre d’or.
Marguerite Neveux a démontré qu’en réalité les artistes divisaient leurs toiles en huitièmes, ce qui est très facile, puis en 4/8 et en 5/8 qui est très proche du nombre d’or à 7 millièmes près. Cette petite différence a suffi à créer bien des rêves dorés et à déchaîner des passions qui retombent actuellement (les fractales sont aujourd’hui plus motivantes).
Notons que le format le plus utilisé est le fameux 21/29.7… (A4, A3,…) seul format qui plié en deux garde la même forme : rapport .
Tout de même le nombre d’or a des propriétés mathématiques bien réelles et on le retrouve dès qu’on a une symétrie d’ordre 5.
Nous allons en découvrir quelques unes de ses propriétés mathématiques.

Intéressons-nous maintenant à la discipline reine des arts appliqués, l’architecture.

S’il ne fait aucun doute que la proportion d’or recèle une notion d’harmonie à caractère universel, nous devrions aussi la retrouver dans les tracés géométriques sous-jacents aux édifices et aux constructions. En est-il ainsi ? Une fois de plus, il est risqué de l’affirmer de façon catégorique. À la manière d’une dame coquette qui prendrait plaisir à voiler ses charmes, le ratio d’or laisse sentir sa présence dans beaucoup de grandes oeuvres architecturales de toutes les époques, comme la Grande pyramide ou quelques-unes des cathédrales françaises parmi les plus remarquables, sans pour autant se révéler totalement. Cependant, il est difficile de rester sceptique à l’examen détaillé de la façade de l’oeuvre majeure de Phidias : le Parthénon. On découvre avec ravissement que les divers éléments qui la composent se déclinent en autant de rectangles d’or.

Le rapport de la hauteur de la pyramide de Khéops par sa demi-base est le nombre d’or.
Il semble que ceci soit vrai, en dehors de toute considération ésotérique.
D’après Hérodote, des prêtres égyptiens disaient que les dimensions de la grande pyramide avaient été choisies telles que : “Le carré construit sur la hauteur verticale égalait exactement la surface de chacune des faces triangulaires”

 

 

 

 

 

Au moyen âge, les bâtisseurs de cathédrales utilisaient une pige constituées de cinq tiges articulées, correspondant chacune à une unité de mesure de l’époque, relatives au corps humain : la paume, la palme, l’empan, le pied et la coudée.

Les longueurs au moyen âge étaient donnée en lignes, une ligne mesurant environ 2 mm (précisément 2,247 mm) : Pour passer d’une mesure à la suivante, on peut vérifier que l’on multiplie par le nombre d’or.

 

 

 

 

Le secret des roses :

Le choix du nombre d’or comme étalon de mesure d’un modèle idéal de beauté n’est pas uniquement un caprice humain. Même la nature semble conférer à ϕ un rôle spécial quand il s’agit de « choisir » une forme plutôt qu’une autre. Pour s’en apercevoir, il faut approfondir un peu plus les propriétés du nombre d’or. Prenons notre rectangle d’or comme point de départ. Retirons un carré dont le côté est égal à la largeur du rectangle. Nous obtiendrons ainsi un nouveau rectangle d’or, de taille plus petite. Si nous répétons le processus plusieurs fois, nous obtiendrons la figure suivante :

Traçons maintenant des quarts de cercle dont le rayon est égal au côté de chacun des carrés de la figure précédente, avec pour centre leur sommet respectif. Nous aurons ainsi la figure suivante :

Cette courbe sinueuse est une bonne approximation d’une courbe appelée spirale logarithmique. Loin d’être une simple curiosité mathématique, elle peut s’observer très facilement dans notre environnement, (même si toutes ne sont pas reliées au nombre d’or) de la coquille d’un escargot…

… à la forme des bras des galaxies…

 

φ et Fibonacci:

Fibonacci est né à Pise en 1175. Son vrai nom est Léonardo Pisano, ou Léonard de Pise. Fibonacci est un surnom qui vient de filius Bonacci qui veut dire fils de Bonacci.
(Bonacci signifie chanceux , de bonne fortune). c’est l’un des plus grands mathématiciens du moyen-âge.
C’est lui qui a introduit la numération décimale et l’écriture arabe des chiffres en Occident, en ramenant dans son livre Liber abaci, les connaissances acquises en Algérie où travaillait son père.

Il existe la formule ci-dessous qui donne directement le n^ième nombre de Fibonacci sans connaître les précédents. On y voit clairement apparaître le nombre d’or.

 

 

 

Remarque : le terme est plus petit que 1 donc la partie de la formule tend vers zéro quand n devient grand (faites l’expérience en augmentant n au fur et à mesure).
Par conséquent, pour connaître F_n quand n est grand, il suffit de prendre la partie entière de .

Les nombres de Fibonacci forment une suite de nombres que l’on appelle suite de Fibonacci. Un nombre de la suite s’obtient en ajoutant les deux nombres précédents de la suite :

si on note F_n le n^ème nombre de Fibonacci, F_n = F_{n – 1} + F_{n – 2}
Voila les premiers nombres de la suite : F₁ = 1 ; F₂ = 1 ; F₃ = 2 ; F₄ = 3 ; …etc

indice n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	…	…
Fn	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	…	…

Soit : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, …

Le nom de “suite de Fibonacci” a été donné par l’arithméticien français Edouard Lucas en 1817, alors qu’il étudiait ce qu’on appelle aujourd’hui les “suites de Fibonacci généralisées” obtenues en changeant les deux premiers termes de la suite de Fibonacci et qui suivent le même procédé de construction.
La plus simple d’entre elles, dont les deux premiers termes sont 1 et 3, s’appelle aujourd’hui … la suite de … Lucas ! (Elle commence par 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, …). Les suites de Fibonacci et de Lucas sont très liées.

Quotient de 2 nombres successifs de Fibonacci:
Si on calcule les valeurs des quotients ; ; ; … ; ; … c’est-à-dire les quotients , on remarque que l’on obtient des nombres de plus en plus proches les uns des autres (sans jamais être égaux !) et se rapprochent du nombre d’or.

On peut démontrer que la suite des quotients a pour limite le nombre d’or lorsque n tend vers l’infini. En effet, la suite de Fibonacci définie par    F₁ = 1 ; F₂ = 1 et F_n = F_{n – 1} + F_{n – 2}  pour n > 2, est une suite récurrente linéaire d’ordre 2.

Si on pose F_n = a * qⁿ , avec q>0 et a non-nul, et que l’on reporte dans dans l’égalité F_n = F_{n – 1} + F_{n – 2} , on obtient a*qⁿ = a*q^n-1 + a*q^n-2 soit q² = q + 1 en simplifiant par a*q^n-2 et q est la solution positive de l’équation , c’est-à dire le nombre d’or .

A partir de l’équation , on peut obtenir facilement .
En reportant l’expression de x obtenue à la place du x au dénominateur, on obtient le développement en fraction continue du nombre d’or. On le note couramment [ 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , … ] sous sa forme normalisée (les dénominateurs ne doivent être que des 1)

Ces fractions s’approchent de plus en plus du nombre d’or :
= 2 ; = 3/2 ; = 5/3 ; = 8/5 ; = 13/8 …
Que voit-on apparaître ? … Fibonacci !
Les fractions obtenues sont les rapports de nombres de deux Fibonacci successifs
( Il n’y a rien de mystérieux la-dedans en réalité. Essayez de calculer plus de fractions et vous trouverez vite un raccourci qui vous expliquera tout ! )

Carré du nombre d’or
Pour calculer le carré du nombre d’or, il suffit de lui ajouter 1 :

Inverse du nombre d’or
Pour calculer l’inverse du nombre d’or, il suffit de lui retrancher 1 :
Puissances du nombre d’or

Que voit-on encore apparaître ? Eh oui ! Fibonacci ! Les puissances du nombre d’or s’expriment en fonction de φ et de 1 et les coefficients ne sont autres que les nombres de Fibonacci.

Il existe même une formule qui relie π et le nombre φ :

Le nombre d’or apparaît traditionnellement en phyllotaxie, cette branche de la botanique qui étudie l’ordre dans lequel sont implantées les feuilles le long de la tige d’une plante, ou l’agencement des fleurons et écailles dans diverses fleurs et fruits (pomme de pin, tournesol, ananas, choux—fleur, …). Certains auteurs font remonter l’étude théorique de ces arrangements à un article de 1837 des frères Bravais, l’un étant physicien et l’autre botaniste.

Plus récemment, on trouve aussi le nombre d’or jouant un rôle crucial dans des travaux de physiciens concernant les quasicristaux.

Le nombre d’or a également nourri les analyses, l’imagination et les fantasmes de divers auteurs intéressés par (l’histoire de) l’art, l’architecture, ou les proportions du corps humain (statues et individus vivants). Il en est résulté une immense littérature foisonnante à profusion. Ce qu’on y trouve va de la remarque éclairante aux rumeurs aussi coriaces que fantaisistes ; il semble par exemple que toute « découverte » du nombre d’or dans les proportions du Parthénon nécessite un aveuglement intellectuel, voire une tromperie militante.

Il y a une notion de nombre d’or en astronomie, qui n’a « rien à voir » avec la notion discutée ci—dessus. Chaque année possède son nombre d’or, qui est un entier entre 1 et 19, et qui permet de situer les mois lunaires par rapport au calendrier usuel. Il se trouve qu’une période de 19 années est en bonne approximation un nombre entier de mois lunaires, plus précisément 19 années =235 mois lunaires = 6940 jours selon le calendrier du cylce métonique introduit à Athènes en 432 avant J.-C. et connu en Babylonie vers 490 avant J.-C. Le nombre d’or de l’année 2008 était 14, et celui de 2009 est 15.