Harris' blog

« Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !

Immortel Archimède , artiste , ingénieux ,              

Qui de ton jugement peut priser ta valeur ?

Pour moi, ton problème eut de pareils avantages ! »

Le nombre pi est connu depuis l’antiquité, évidemment, pas au sens où nous l’entendons maintenant (notion abstraite de constante mathématique) mais en tant que rapport entre la longueur du cercle et son diamètre et d’ailleurs surtout en tant que méthode de calcul du périmètre du cercle (ou de l’aire du disque). Disons-le tout net, sans le nombre π, il n’y aurait pas de table ronde, de roue qui roule, pas de pleine lune, pas de 2πr ni de πr², pas de problèmes insolubles… et bien d’autres choses encore. l’histoire de π est aussi longue que la liste des nombres qui le composent.

En 2000 av. JC, les Babyloniens connaissaient π (comme le rapport constant entre la circonférence d’un cercle et son diamètre, mais pas comme objet mathématique). Ils avaient comme valeur 3 + 7/60 + 30/3600 (ils comptaient en base 60) soit 3 + 1/8 = 3,125.

Vers 1650 av.JC, les Egyptiens avaient comme valeur (16/9)2 qui vaut environ 3,16. Cette valeur a été retrouvée sur le fameux papyrus de Rhind, écrit par le scribe Ahmès, acheté par un Ecossais qui s’appelle … Henry Rhind. Il est conservé au British museum.

Le Papyrus de Rhind provient du temple mortuaire de Ramsès II à Thèbes, en Egypte (la ville où est érigé le temple de Karnak) et fut acheté par Alexander Rhind. Il a été écrit vers -1650 par le scribe Ahmès. Constitué de 14 feuilles de papyrus, il mesurait à l’origine plus de 5 m de longueur sur 32 cm de large. Il est le plus vieux traité de mathématiques du monde et contient 87 problèmes dont, par exemple, la décomposition des fractions en fractions unitaires (dont le numérateur est 1), de l’arithmétique (multiplications et divisions), résolution d’équations, l’arpentage (mesures des distances) et à la géométrie : aires planes (du trapèze en particulier), volumes de greniers à grains, calcul de pyramides .

Ensuite, π apparaît :

• En Chine vers 1200 av. JC, avec pour valeur 3.
• Dans la Bible vers 550 av. JC, avec pour valeur 3.
• En Grèce, avec en particulier Archimède en 250 av. JC qui donne l’encadrement 223/71 < pi < 22/7 et Ptolémée en 150 qui utilise 3 +8/60 + 30/3600 = 3,1416666.
• En Chine au Vème siècle, avec pour valeur 355/113 = 3,14159292.
• En Inde : 3 + 177/1250 = 3,1416 en 380 puis 3,16227 (racine carrée de 10) avec Brahmagupta en 640
• Au Moyen-Orient avec Al Khwarizmi en 800 (Ouzbekistan) et Al Kashi, professeur de mathématiques et d’astronomie en 1429 (Turkestan) qui calcule 14 décimales de pi. C’est un homme sain d’esprit qui fait des mathématiques partout et tout le temps. C’est en s’intéressant aux propriétés du cercle (des pièces de monnaie que lui rendait un épicier) qu’il fait le rapport entre son diaètre et son périmètre et trouve ainsi π=3,141 ou 3,142, ça dépend ! En effet lorsqu’il calcule la surface de la lune et qu’il divise le résultat par le rayon au carré, il trouve π=3,142. Le mois d’après, il refait son calcul et là, surprise ! il trouve π=3,141. Alors il décide de placer le cercle dans un carré, puis de dessiner un carré à l’intérieur du cercle !

Il en déduite alors l’encadrement de π :

Et par conséquent :

Et voilà ! Al Kashi a enfin pu se rapprocher de la véritable valeur de π.

• En Europe : l’Italien Fibonacci, en 1220, trouve la valeur 3,141818, au Pays-Bas avec Van Ceulen (20 décimales en 1596 puis 34 décimales en 1609 !), en France avec Viète (9 décimales en 1593).

Puis vint le développement des techniques de calculs avec l’analyse (dérivée, intégrales, sommes de séries, produits infinis …), Wallis en 1655, Newton (16 décimales en 1665), Gregory, Leibniz, John Machin (100 décimales en 1706), puis Euler (20 décimales calculées en une heure !) vers 1760 et beaucoup d’autres.

Les champions contemporains sont les frères Chudnovsky avec 4 milliards de décimales en 1994 et Kanada et Tamura dont le dernier record datait de 1999 avec 206 milliards de décimales (en environ 33 heures de calculs). Kanada a battu son propre record le 6 décembre 2002 avec une équipe de neuf autres chercheurs japonais du Information Technology Center de l’Université de Tokyo : 1 241 100 000 000 décimales ont été calculées à l’aide d’un super calculateur Hitachi (400 heures de calculs !) en utilisant un algorithme que l’équipe a mis cinq ans à mettre au point.

En réalité, toutes ces décimales ne servent à rien. En effet pour calculer la surface d’un cercle, ou sa circonférence, 4 ou 5 décimales suffisent !

En mathématiques parfois le résultat est moins intéressant que ce que l’on débusque sur son chemin… π a vu émerger de nombreuses questions et de drôles de réponses.

Les premiers calculs de décimales du nombre π

Les chiffres de π peuvent se retrouver en comptant le nombre de lettres dans le texte ci-dessous :

« Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !

3   1   4        1   5             9                2         6              5     3       5

Immortel Archimède , artiste , ingénieux ,

8                 9                        7                 9

Qui de ton jugement peut priser ta valeur ?

3     2       3         8                 4         6     2         5

Pour moi, ton problème eut de pareils avantages ! »

4        3       3           8             3      2        7                 9

C’est Archimède (né en 287 av. JC à Syracuse et mort en 212 av. JC), en 250 av.JC qui a réellement commencé à calculer des décimales du nombre π. Il est surtout le premier à avoir utilisé un algorithme pour le calcul. La méthode, qu’on appelle naturellement aujourd’hui la méthode d’Archimède, consiste à calculer le périmètre de polygones réguliers inscrits et circonscrits au cercle pour encadrer le périmètre du cercle et donc en déduire un encadrement de π. Il obtint ainsi

3+10/71 < pi < 3+1/7

La notation π est la première lettre du mot grec perimetron, périmètre ou perijereia, circonférence, périphérie.

Il y a plusieurs versions sur l’apparition du symbole, mais l’époque est toujours la même : vers 1600. William Oughtred (1574-1660) en 1647 et Isaac Barrow (1630-1677) utilisent le symbole π pour représenter le périmètre d’un cercle de diamètre 1. Un Allemand, Ludolph von Ceulen (1539-1610) utilisait déjà cette notation. Qui fut le premier ? Est-ce bien important ? Il serait néanmoins intéressant de savoir si ces personnes communiquaient et comment l’usage du symbole π s’est répandu.

En 1706, Jones l’utilise pour désigner le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre (à cette époque , Bernoulli emploie la lettre c)

Euler , utilise la lettre π ,dans un ouvrage sur les séries, publié en latin en 1737 puis, en 1748, dans son ’’Introduction à l’analyse infinitésimale’’, ce qui imposa définitivement cette notation .
Nature algébrique de π.

π n’est pas un nombre décimal, c’est-à-dire que les chiffres après la virgule ne sont pas en nombre fini (pi a une infinité de décimales). La meilleure valeur décimale approchée de π connue actuellement comporte environ 1241 milliards de chiffres … Autant dire presque rien !

π est un nombre irrationnel, c’est-à-dire qu’il ne peut pas s’écrire comme une fraction de deux nombres entiers. Autrement dit, cela signifie aussi que les chiffres de π ne sont pas prévisibles. On ne peut pas deviner une décimale sans la calculer explicitement, comme on peut le faire par exemple avec le nombre 1/7 = 0,14285714285714.
L’irrationalité de π fut démontrée en 1761 par l’Allemand Lambert.

π est un nombre transcendant c’est-à-dire qu’il n’est solution d’aucune équation à coefficients rationnels. Cela fut démontré en 1881 par Lindemann.
La quadrature du cercle.

La quadrature du cercle est un des grands problèmes de géométrie de l’antiquité et l’est resté pendant longtemps. Il consiste à construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un disque de rayon donné, ce qui revient à construire le nombre (plus exactement le rapport) égal à la racine carrée de π. Si on prend 1 comme rayon du disque, l’aire est égale à π. Il faut donc trouver x le côté du carré tel que x² = π

Il fallut attendre la fin du XIXème siècle pour que Lindemann démontre que π est un nombre transcendant (c’est-à-dire qu’il n’est solution d’aucune équation à coefficients rationnels), ce qui prouve que π n’est pas constructible à la règle et au compas. En effet, si π était un nombre algébrique , il s’écrirait sous la forme d’une racine, et une racine est constructible à la règle et au compas (une racine carrée est constructible à la règle et au compas en utilisant des triangles rectangles)

Ce problème a laissé une trace derrière lui : l’expression ” résoudre la quadrature du cercle” est devenue synonyme de réaliser l’impossible.

Pour le commun des mortels …Tout le monde (enfin, … en principe !) connaît la formule qui donne le périmètre d’un cercle à partir de son diamètre ou de son rayon et du nombre π qui vaut quelque chose comme 3,1415926535… :

soit Périmètre du cercle = π x diamètre
et
soit Périmètre du cercle = π x 2 x rayon

Que l’on écrit 2π x rayon

D’où la définition classique de π qui est :

π (pi) est le rapport constant entre la longueur d’un cercle (le périmètre du cercle) et son diamètre (le double de son rayon) π = P/d.
ou encore π = P/2r
Ou bien encore, à partir de la formule permettant de calculer l’aire (la “surface”) d’un disque (le disque est la surface comprise à l’intérieur du cercle) à partir de son rayon : Aire d’un disque A = π x (rayon du cercle)²

soit A = πr²
On obtient la définition suivante de π (qui est équivalente à la précédente) :

π (pi) est le rapport constant entre l’aire d’un disque et le carré de son rayon π = A/r²

Pour le mathématicien ?… Alors là vous allez rire !

La définition n’est pas la même.

La définition donnée précédemment à l’aide du périmètre du cercle ou de l’aire du disque est ennuyeuse pour le mathématicien (qui est très joueur en réalité) car elle suppose que l’espace dans lequel on se place soit euclidien pour que le rapport “périmètre du cercle / diamètre” soit constant et indépendant du cercle choisi (ce qui n’est pas vrai lorsqu’on trace des cercles sur une sphère, par exemple) et également qu’une théorie de l’intégration soit développée sur cet espace pour pouvoir calculer le périmètre du cercle ou l’aire du disque.

Ça a l’air compliqué non ? Ça l’est un peu j’avoue!

Aussi les mathématiciens préfèrent-ils une définition basée sur l’analyse.

Évidemment, elle est équivalente à la définition précédente et on obtient toujours le même nombre π ! Encore heureux.

 

Voici quelques étrangetés trouvées dans les décimales de π ; on se gardera bien de les prendre au sérieux.

• 1+4+1+5+9+2+6+5+3+5+8+9+7+9+3+2+3+8+4+6 = 100
• Le «0» n’apparaît la première fois qu’en position 32 après la virgule, alors que tous les autres chiffres sont déjà représentés au moins une fois dans les 13 premières décimales. Pourquoi ce retard du «0» ?
• Les décimales de π à partir de la 762e sont 999999. Qu’il y ait six «9» consécutifs quelque part dans le premier million de décimales de π ne serait pas étonnant, mais que cela se produise avant la millième décimale, n’est-ce pas troublant?
• En additionnant les 144 premières décimales de π, on trouve 666. Faut-il en conclure que π est satanique?
• Parmi les 1 000 premiers entiers obtenus en prenant les décimales de π dans l’ordre 3, 31, 314, 3 141, 31 415, …, seuls quatre sont des nombres premiers. N’est-ce pas vraiment très peu?
• Parmi les 400 premières décimales de π, il n’y a que 24 «7», ce qui est peu par rapport aux 40 «7» attendus.
• Le groupe de trois décimales qui se termine à la position 315 est 315, et celui qui se termine à la position 360 est 360… Mystère !
• (π4 + π5)1/6 = 2,718281809, soit la constante népérienne e jusqu’à la septième décimale !

 

Et voici ci-dessous, après calcul, les 10 000 premières décimales de Pi :

Chaque paragraphe contient 10 lignes, et chaque ligne est composée de 100 décimales.

Chaque paragraphe contient donc 1000 décimales, et il y a 10 paragraphes en tout soit au total 10 000 décimales.

Vous cherchez la 2637ème décimale ? C’est facile : il s’agit du 37ème chiffre de la 6ème ligne du 2ème paragraphe.

Autre exemple : où se trouve la 7518ème décimale ?

• 7000 –> dans le 7 ème paragraphe
• 500 –> sur la 5 ème ligne
• 18 –> c’est le 18 ème chiffre Et c’est le chiffre 5 !

Aucune régularité ou périodicité n’a jamais été constatée dans les décimales de Pi. Cela signifie qu’une suite quelconque de chiffres a de grande chance de se trouver dans la suite des décimales de Pi. Par exemple, votre date de naissance, exprimée sous la forme d’une suite de 6 chiffres JJMMAA se trouve-t-elle dans ces 10 000 premières décimales de Pi ?

Vous pouvez aussi y rechercher toute autre suite de chiffres vous caractérisant, comme par exemple votre numéro de sécurité sociale ou votre numéro de téléphone. Bonne recherche !!

Π = 3,
1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679
8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196
4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273
7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094
3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912
9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132
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4201995611212902196086403441815981362977477130996051870721134999999837297804995105973173281609631859
5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303
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9331367702898915210475216205696602405803815019351125338243003558764024749647326391419927260426992279
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4390451244136549762780797715691435997700129616089441694868555848406353422072225828488648158456028506
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1507606947945109659609402522887971089314566913686722874894056010150330861792868092087476091782493858
9009714909675985261365549781893129784821682998948722658804857564014270477555132379641451523746234364
5428584447952658678210511413547357395231134271661021359695362314429524849371871101457654035902799344
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8191197939952061419663428754440643745123718192179998391015919561814675142691239748940907186494231961

 

 

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7229109816909152801735067127485832228718352093539657251210835791513698820914442100675103346711031412
6711136990865851639831501970165151168517143765761835155650884909989859982387345528331635507647918535
8932261854896321329330898570642046752590709154814165498594616371802709819943099244889575712828905923
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