Harris' blog

Archive pour la catégorie ‘Mathématiques’

Retrouvez ici même, des énigmes amusantes, pour tous les âges et tous les niveaux jusqu’en terminale S,  qui vous feront réfléchir et passer un peu de temps. N’allez pas chercher les solutions sur internet, vous risquez d’être désagréablement surpris, les solutions sont parfois fausses ou tout simplement incompréhensibles…

Ici, il n’y a rien à gagner, ni de classement des meilleurs esprits, l’intérêt est de simplement faire travailler ses neurones.

Je place également EN FIN DE PAGE les solutions que j’ai trouvées personnellement et qui ne sont peut être pas les plus simples ou les plus évidentes pour vous. N’hésitez pas à me faire remonter vos remarques.

Si vous avez des énigmes sympas que je ne connais pas, n’hésitez pas à me les soumettre.

Sur la page, les énigmes vont de la plus récente à la plus ancienne !

Et comme je le dis régulièrement à mes élèves de mathématiques:

• LISEZ ATTENTIVEMENT LE TEXTE

Bien lire le texte est nécessaire pour traiter ce type de problèmes.

Les hypothèses données peuvent vous indiquer la méthode à utiliser.

• CHOISISSEZ BIEN LES INCONNUES

Bien choisir les inconnues. Il faut éviter d’en oublier ou même d’en rajouter d’inutiles.

Mal traduire les hypothèses et surtout en oublier est une cause d’erreur ou d’impasse possible.

• NE PAS PANIQUER DEVANT UN ÉNONCÉ LONG

Ne vous laissez pas impressionner par un texte qui peut paraître compliqué.

Dans ce type de problèmes, il y a souvent des informations qui ne servent pas forcément pour la résolution.

• FAITES ATTENTION AUX OUBLIS !

Ne pas oublier des informations non écrites mais qui sont liées à la nature du problème.

Une distance est un nombre positif ; Un nombre d’objet est un nombre entier ;

Tous les animaux n’ont pas le même nombre de pattes.

• AIDEZ VOUS TOUJOURS D’UNE FIGURE OU D’UN SCHÉMA

Si le problème a un support géométrique, ne pas faire de figure est une source supplémentaire de difficultés.

Souvent la figure est, en soi, un début de piste.

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ENIGME N° 28: (Solution plus bas)

ENIGME N° 27: (Solution plus bas)

Un père promet à son fils de lui offrir 5€ pour chaque bonne réponse mais le fiston devra lui donner 8€ à chaque mauvaise réponse.
Au bout de 26 questions, le père et le fils ne se doivent rien.

Combien le fils a-t-il donné de bonnes réponses ?

ENIGME N° 26: (Solution plus bas)

J’achète un tableau 40000€, je le revends 60000€.

Puis je le rachète 80000€ pour le revendre à 100000€.

Combien ai-je gagné ?

ENIGME N° 25: (Solution plus bas)

En se rendant à un point d’eau, un zèbre croise 6 girafes qui s’y rendaient également.

Chaque girafe portait sur son dos 3 singes.

Chaque singe portait 2 oiseaux qui eux-mêmes portaient chacun 4 mouches.
Combien d’animaux au total se retrouvent au point d’eau ?

ENIGME 24:(Solution plus bas)

Il faut 1min25s pour couper une bûche en deux.

Combien de temps faut-il pour couper une bûche en 13 morceaux ?

ENIGME 23:(Solution plus bas)

Quatre tapissiers font 4 tapis en 4 jours.
Combien faut-il de tapissiers pour faire 20 tapis en vingt jours ?

ENIGME 22:(Solution plus bas)

Un mathématicien dit à son facteur:
“J’ai trois filles. Le produit de leurs âges est égal à 36 et la somme de leurs âges égale le numéro de la maison située en face de la mienne. Pouvez-vous me donner leurs âges ?”
Le facteur réfléchit puis répond: “Mais il me manque une donnée !”
Le mathématicien rajoute alors:
“En effet, l’aînée s’appelle Charlotte.”
Le Facteur donne la réponse. Quelle est-elle ?

 

ENIGME 21: (Solution plus bas)

 

ENIGME 20: (Solution plus bas)

ENIGME 19: (Solution plus bas)

 

ENIGME 18

ÉNIGME N°17 (correction plus bas)

Deux trains, séparés de 200 km roulent l’un vers l’autre. Chacun avance à 50 km/h.
Une mouche part de l’avant de l’un d’eux et vole à la vitesse de 75 km/h jusqu’à ce qu’elle rencontre le second train. A ce moment-là, elle fait demi-tour, jusqu’à ce qu’elle rencontre le premier train, puis fait demi-tour jusqu’à ce qu’elle rencontre le second et ainsi de suite, jusqu’à ce que les trains la tuent en se croisant.

Quelle distance totale la mouche a-t-elle parcouru pendant ce vol ?

ÉNIGME N°16 (correction plus bas)

Il y a des porcs et des oies derrière la maison. On voit 72 têtes et 200 pieds. Combien y a-t-il de porcs ?

ÉNIGME N°15 (correction plus bas)

Mary adore les peluches. Elle en a même plusieurs en double. Mais compte tenu des indications du dessin, pourriez-vous les classer de la plus légère à la plus lourde ?

ÉNIGME N°14 (correction plus bas)

Deux frères ont hérité de 5 terrains carrés dont les côtés ont pour longueur cinq nombre entiers consécutifs.

Les terrains sont disposés en deux groupes le long d’une route : les trois “plus petits” d’un côté d’un chemin et les deux “plus grands” de l’autre côté du chemin.

Déterminer les dimensions des terrains telles que les aires de part et d’autre du chemin soient égales.

ÉNIGME N°13 (correction plus bas)

ÉNIGME N°12 (correction plus bas)

L’’herbe d’’un pré pousse partout avec même vitesse et la même densité. On sait que 70 vaches la mangent en 24 jours alors que 30 vaches la mangent en 60 jours.
Combien faudrait-il mettre de vaches dans le pré pour qu’elles mangent l’’herbe en 96 jours?

ÉNIGME N°11 (correction plus bas)

Quand Timothée aura l’âge qu’a maintenant son père, alors sa sœur sera deux fois plus vieille.

D’autre part, l’âge du père sera le double de l’âge de Timothée quand sa sœur aura l’âge actuel de son père. En outre, la somme de leurs âges est d’un siècle. Mais quel est l’âge de chacun?

ÉNIGME N°10 (correction plus bas)

Une épigramme grecque, publiée vers 369 dans L’Abrégé de l’Histoire Romaine d’Eutrope, propose de calculer l’âge de Diophante. Voici la traduction en alexandrins qu’en donne Emile Fourrey dans ses Récréations mathématiques.

Passant sous ce tombeau repose Diophante.
Ces quelques vers tracés par une main savante
Vont te faire connaître à quel âge il est mort.
Des jours assez nombreux que lui compta le sort,
Le sixième marqua le temps de son enfance;
Le douzième fut pris par son adolescence.
Des sept parts de sa vie, une encore s’écoula,
Puis s’étant marié, sa femme lui donna
Cinq ans après un fils, qui, du destin sévère,
Reçut de jours hélas! deux fois moins que son père.
De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut.
Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut.

Saurez-vous calculer l’âge de Diophante?

ÉNIGME N°9 (correction plus bas)

L’océan Atlantique fait la moitié du Pacifique.

L’Arctique fait le quart de l’Atlantique.

L’Arctique et l’Antarctique font ensemble les deux cinquièmes de l’océan Indien, qui fait lui-même fait les neuf dixièmes de l’Atlantique.

Mais alors, combien faut-il d’océans Antarctique pour recouvrir tout le Pacifique?

ÉNIGME N°8 (correction plus bas)

J’ai toujours mal quelque part!

Un jour sur trois, j’ai mal au dos! Un jour sur quatre, j’ai mal aux dents! Un jour sur cinq, j’ai la migraine!

Et même, un jour sur six, je souffre de deux de ces maux!

Mais, le pire, c’est les jours maudits, où j’ai mal au dos, aux dents, et à la tête…

Au fait, quelle est leur fréquence?

ÉNIGME N°7 (correction plus bas)

5 chameaux boivent 5 bonbonnes d’eau en 5 jours.

7 dromadaires boivent 7 bonbonnes d’eau en 7 jours.

Mais qui boit le plus? Un chameau ou un dromadaire?

ÉNIGME N°6 (correction plus bas)

Avec 10 bougies brûlées, vous fabriquez 1 bougie neuve.

Combien de bougies aurez-vous fabriquez avec 1000 bougies ?

ÉNIGME N°5  (correction plus bas)

 

ÉNIGME N°4 (correction plus bas)

ÉNIGME N°3 (correction plus bas)

Résoudre :

ÉNIGME N°2  (correction plus bas)

ÉNIGME N°1  (correction plus bas)

Quelle est la moitié de 2 + 2 ?

Si vous trouvez 2, c’est une erreur !

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SOLUTIONS DES ÉNIGMES

N°28

N°27

Soit x le nombre de bonnes réponses et y le nombre de mauvaises réponses.
Il y a 26 questions, donc : x + y = 26, soit y = 26 – x.
Le père donne a son fils 5€ par bonne réponse. Il donne en tout 5x euros.
Le fils lui rend 8€ par mauvaise réponse. Le fils donne en tout 8y euros.
A la fin, le père et le fils ne se doivent rien, donc : 5x = 8y.
En remplaçant y = 26 – x dans cette nouvelle équation, on obtient : 5x = 8(26 – x), soit :
5x = 208 – 8x
5x + 8x = 208
13x = 208
x = 208/13 = 16
Le fils a donc donné 16 bonnes réponses.

N°26

Deux bénéfices de 20 000€ font 40 000€.

N°25

205 animaux se trouvent au point d’eau.
En détail, cela donne : 1 zèbre + 6 girafes + 18 (3×6) singes + 36 (2×18) oiseaux + 144 (4×36) mouches.

N°24

Pour couper une bûche en 13 morceaux, il faut faire 12 coupes prenant chacune 1min25s, soit : 12 x 1min25s = 17min.

N°23

Si 4 tapissiers font 4 tapis en 4 jours,
alors 4 tapissiers font 4×5 tapis en 4×5 jours.
La réponse est donc 4 tapissiers.

Il y a proportionnalité entre le nombre de tapis et le nombre jours.

N°22

Le produit de leurs âges est = 36.

Décomposons 36 de façon à envisager toutes les solutions :

36 = 1 x 1 x 36

36 = 1 x 2 x 18

36 = 1 x 3 x 12

36 = 1 x 4 x 9

36 = 1 x 6 x 6

36 = 2 x 2 x 9

36 = 2 x 3 x 6

36 = 3 x 3 x 4

On a pour le moment 8 possibilités. Additionnons les âges.

1 + 1 + 36 = 38

1 + 2 + 18 = 21

1 + 3 + 12 = 16

1 + 4 + 9 = 14

1 + 6 + 6 = 13

2 + 2 + 9 = 13

2 + 3 + 6 = 11

3 + 3 + 4 = 10

Le facteur voit le numéro de la maison située en face de celle du mathématicien donc, comme il lui manque un indice, ce numéro est le 13 (c’est le seul numéro présent deux fois) et le facteur hésite entre :

1 an, 6 ans et 6 ans avec deux ainées jumelles,

2 ans, 2 ans et 9 ans.

L’aînée s’appelle Charlotte et est unique, la solution est : 2 ans, 2 ans et 9 ans.

N° 21

 

Pour cette énigme, il faut pas mal d’observation, un bon sens du classement, un peu de logique, une bonne connaissance des tables de multiplications et un peu de tâtonnement comme souvent en mathématiques.

Classons les équations de façon à ce que le premier terme de l’addition fasse une suite numérique croissante :

2 + 3 =8

3 + 7 = 27

4 + 5 = 32

5 + 8 = 60

6 + 7 = 72

7 + 8 = ?

On a bien 2, 3, 4, 5, 6, et 7.

En observant les termes à droite du signe =, on constate que tous les nombres sont des produits d’un nombre entier avec le premier terme de chaque addition. Exemple : 8 = 2 x 4 avec 2 le premier terme de 2 + 3 = 8. Il reste à trouver une forme d’algorithme qui permet de trouver 4 en manipulant 2 et 3 simplement, puis de comparer cet algorithme avec les propositions suivantes.

• Pour obtenir 4 avec 2 et 3  j’ai fait 4 = (2 + 3) -1 = 5 – 1 = 4, on aurait pu faire aussi (2 x 3) – 2 = 6 – 2 = 4.
• J’essaye avec la proposition suivante : 3 + 7 = 27, je constate que 3 x 9 = 27, je dois donc trouver 9 en manipulant 3 et 7, il se trouve que la première proposition ci dessus est valable, à savoir 9 = (3+7) – 1 = 10 – 1 alors que la seconde proposition ne fonctionne pas (3 x 7) – 2 = 19 et pas 27 …
• Je généralise mon algorithme en écrivant : a + b = a ((a + b) – 1)
• Je vérifie le fonctionnement de mon algorithme avec les autres propositions… Cela fonctionne !
• Ainsi, en applicant mon algorithme général aux nombre 7 et 8 je trouve avec a = 7 et b = 8,  7 + 8 = 7 x ((7 + 8) – 1) = 7 x (15 – 1) = 7 x 14 = 98

CQFD

N°20

Dans cette énigme, il est impératif de se souvenir des règles de priorité dans les calculs simples avec les opérations courantes. Que précisent ces règles ?

• La division et la multiplication sont prioritaires par rapport à l’addition (mais aussi par rapport à la soustraction).
• Dans le cas d’exercices avec des « parenthèses » notées « ( ) » ces dernières sont prioritaires sur tout le reste

Donc : 2/3 – 1/3 . (3/4) : 1/2 = 2/3 – 1/4 x 2 = 2/3 – 1/2 = 4/6 – 3/6 = 1/6

CQFD

N°19

On sait que 7 personnes ont un ordinateur et un téléphone allumés.

On en déduit que :

• 8 personnes ont seulement leur ordinateur d’allumé (15 – 7)
• 6 ont seulement leur téléphone d’allumé (13-7)

On sait aussi que 9 personnes n’ont aucun appareil allumé

Donc : 7  + 8 + 6 + 9 = 30 passagers (hors équipage)

CQFD

N° 18

 

N°17

L’erreur ici serait d’imaginer les aller-retours incessants que va faire notre mouche entre les deux trains. Il faut simplement ne pas se mettre à la place de la mouche, mais à la place des trains. C’est une erreur que font environ 99 % des personnes qui tentent de résoudre cette énigme. Et la solution des problèmes de maths vient très souvent d’un changement de place de l’observateur. Je m’explique:

Les trains vont l’un vers l’autre à la même vitesse et partent au même moment. Lorsqu’ils se croiseront ils auront parcouru la même distance soit la 1/2 de 200 Kms = 100 Kms. Comme ils roulent à 50 Km/h, ils auront roulé 2 heures avant de se croiser et de tuer la mouche.

Avant de se faire écraser, notre copine la mouche aura donc volé durant 2 heures. Sa vitesse étant de 75 Km/h, elle aura parcouru 150 Kms… CQFD

N° 16

Il s’agit d’un système de deux équations à deux inconnues.

Soit x le nombre de cochons et y le nombre d’oies.

On a 72 têtes d’animaux soit : x + y = 72 donc x = 72 – y

on a 2 pattes pour les oies donc : 2y en nombre de pattes

on a 4 pattes pour les cochons donc : 4x en nombre de pattes, ce qui fait : 2x + 4y = 200

On remplace x par sa valeur (72 – y) et on obtient : 2(72 – y) + 4y = 200 d’où on extrait y = 28 cochons… CQFD

N°15

Traduisons le dessin sous la forme d’inéquations. Soit C la masse du chat, E celle de l’écureuil, S celle de la souris, P celle du poussin et L celle du lapin…

On obtient :

1) S + S > E + L
2) S + E > S + P
3) L + L + P > E + S + C
4) C + P > E + L

D’après 2), S + E > S + P donc E > P.

L’écureuil est plus lourd que le poussin.

D’après 4), C + P > E + L, et comme E > P, C + P > E + L > P + L, soit C > L.

Le chat est plus lourd que le lapin.

D’après 3), L + L + P > E + S + C ; et comme C > L,
C + L + P > L + L + P > E + S + C, soit L + P > E + S.

Puisque L + P > E + S et que E > P, L + E > L + P > E + S, soit L > S.

Le lapin est donc plus lourd que la souris.

D’après 1), S + S > E + L. Et comme L > S, L + S > S + S > E + L, soit S > E.

Donc la souris est plus lourde que l’écureuil.

Ce qui donne, par ordre croissant,

Poussin < Ecureuil < Souris < Lapin < Chat… CQFD

N°14

N°13

N°12

Notons

Le problème nous donne les informations suivantes :

 

 

On souhaite trouver n qui est donné par :

 

A première vue, cela a l’air impossible, car on a trois inconnues (x,y et K) et seulement deux équations pour les déterminer. Mais en fait, ce qui nous intéresse vraiment, ce sont les valeurs de y/x et K/x. En effet, n est donné par la relation :

 

 

Mais le système initial se réécrit en :

 

 

Il est alors facile d’obtenir y/x = 10/3, K/x = 1600 et n = 20. Il faut donc 20 vaches pour brouter le pré en 96 jours! CQFD

N°11

On va se ramener à un système d’équation à 3 inconnues.

On notera x,y,z les âges respectifs de Timothée, de sa sœur, et de son père. La première équation, est facile à obtenir : puisque la somme des âges est égale à une siècle, on a

Analysons les autres phrases :

On résoud le système, en ayant déjà remarqué que z = 50. Il vient y = 50 − x et y = 2x, soit 100 = 3x, soit x = 50/3, et donc y = 100/3. CQFD

 

N°10

Notons x l’âge de Diophante. Les diverses informations données par le poème conduisent à l’équation suivante :

On obtient facilement la solution : x=84. CQFD

N°9

L’océan ‘indien fait les 9/20 du Pacifique, et donc Arctique et Antarctique ensemble font 18/100=9/50 du Pacifique.

Mais l’Arctique seul fait 1/4×1/2=1/8 du Pacifique. L’Antarctique fait donc 9/50-1/8=11/200 du Pacifique.

Il faut donc 200/11, soit un peu plus de 18, océans de la taille de l’Antarctique pour recouvrir tout le Pacifique. CQFD

N°8

C’est un simple calcul de fractions!

Soit f la fréquence où j’ai mal aux 3 endroits.

On a : 1=f+1/3+1/4+1/5+1/6.

D’où, en réduisant tout au même dénominateur, on a f=3/60=1/20 :

j’ai donc mal au dos, aux dents et à la tête un jour sur 20 ! CQFD

N°7

Un chameau boit un cinquième de bonbonne d’eau par jour, et un dromadaire boit un septième de bonbonne d’eau par jour. Les chameaux boivent donc beaucoup plus que les dromadaires! CQFD

N°6

Nous avons affaire à un outil particulier des mathématiques qui s’appelle le “calcul récursif”, méthode très utilisée en informatique. Détaillons le problème.

Nous savons que 10 bougies brûlées servent à produire 1 bougie. On nous en propose 1000. Avec ces 1000 on va fabriquer 100 bougies qui vont également servir à fabriquer 10 bougies avec lesquelles je fabriquerai 1 bougie. On constate alors que j’aurai bien fabriqué : 100 + 10 + 1 bougies, soit 111 bougies. CQFD

N°5

A peu près le même exercice qu’avec les pommes, les bananes et les noix de coco. Ici encore la possibilité de passer par un système d’équation du premier ordre. Définissons les inconnues. P = Pigeon, L = Lapin, C = Cochon.

• la première ligne s’écrit : P + L = 5
• la seconde ligne s’écrit C – P = 99
• la troisième ligne s’écrit 3 x L = 12, d’ou on extrait la valeur de L comme étant égale à 12/3 soit 4
• la dernière ligne s’écrit : P + C + L = ?

Connaissant L, on en déduit de la ligne 1, P = 5 – L = 5 – 4 = 1

Connaissant P, on en déduit de la ligne 2, C = 99 + P, C = 99 + 1 = 100

En final on obtient : P + C + L = 1 + 100 + 4 = 105 CQFD

N°4

La démonstration présentée parait tellement exacte qu’il est parfois difficile de trouver l’erreur et je reste persuadé que si l’on ne dit pas qu’il y a une erreur, on ressort convaincu de la véracité de la démonstration. C’est un peu le piège des mathématiques.

Jusqu’à la 7ème ligne tout est juste. On se retrouve avec 2 (a²-ab) = 1 (a² – ab), que l’on va simplifier en divisant chacun des membres à gauche comme à droite par (a² – ab) et finir par trouver (pour ne pas dire prouver) que 2 = 1 !

C’est ici qu’apparaît l’erreur impardonnable 😉 ! Lorsque on utilise un dénominateur constitué de valeurs supposées connues (des paramètres) il est impératif de s’assurer que ce dénominateur n’est pas égal à 0, auquel cas la division est tout simplement impossible.

Or, que nous dit-on en première ligne ? a = b. Par conséquent a x a = a² est égal à ab ce qui implique que a² – ab est = 0.

On n’a dons pas le droit de diviser par (a² – ab) puisque cet élément est nul.

C’est ici que se situait l’erreur de la démonstration ! CQFD

N°3

Pour cette énigme, il faut un bon sens de l’observation et ne pas se jeter comme un fou sur une solution qui parait sauter aux yeux. Prendre son temps pour analyser le problème c’est 80% de la résolution de l’exercice.

Nous sommes dans un cas typique de résolution d’équations du premier ordre sous forme de système. il faut définir les inconnues. Prenons P pour les pommes, B pour les bananes, et C pour la noix de coco.

• La première ligne est facile à résoudre, on a 3 x P = 30 d’ou l’on tire P = 30/3 = 10
• La seconde ligne doit être détaillée, on a 1 pomme et 2 régimes de bananes comprenant chacun 4 bananes, soit : P + (4B + 4B) = P + 8B = 18, comme P = 10, on en déduit que 8B = 18 – 10 = 8, => 8B = 8 et donc que B = 1
• La troisième ligne nous précise que 4B – 1 C = 2, donc B valant 1, 4 – C = 2, donc 4 – 2 = C = 2
• La dernière ligne nous permet de trouver le résultat suivant : 1C + 1P + 3B = 2 + 10 + (3 x 1) = 15   CQFD

N°2

Pour ce problème, pas besoin de passer par la notion de changement de base de calcul. c’est plus simple.

Voici ma façon de résoudre ce problème:

L’alphabet compte 26 lettres. On peut donc remarquer que l’on va changer de 1ère lettre toutes les 26 souris. En partant de AA la 26ème souris sera nommée AZ, la 52ème (2×26) souris sera BZ, la 78ème (3×26) se nommera CZ et ainsi de suite.

Si je divise 500 par 26, je trouve 19, reste 6. J’ai donc en réalité 19 x 26 = 494 et qui correspond à ma 494ème souris. elle se nommera SZ puisque S est la 19ème lettre de l’alphabet. La 495ème souris se nommera TA, la 496ème TB, la 497ème TC, la 48ème TD, la 499ème TE…

et la 500ème TF ! CQFD

N°1

Dans cette énigme, il est impératif de se souvenir des règles de priorité dans les calculs simples avec les opérations courantes. Que précisent ces règles ?

• la division et la multiplication sont prioritaires par rapport à l’addition (mais aussi par rapport à la soustraction).
• Dans le cas d’exercices avec des « parenthèses » notées « ( ) » ces dernières sont prioritaires sur tout le reste

On nous dit : Quelle est la moitié de 2 + 2 ? dans cet exercice il faut comprendre, (quelle est la moitié de 2) + 2, ainsi on trouve : (2/2) + 2 = 1 + 2 = 3

Il s’agit juste d’un problème de lecture correcte de l’énoncé. CQFD

Voici une belle réalité mathématique :

A la Question : Combien de fois peut-on soustraire 7 de 83 et combien reste-t-il ?
on est en droit de répondre : autant de fois que l’on veut et il reste 76 à chaque fois. Qu’en pensez-vous ?

Histoire vraie !

J’ai tenté d’expliquer dernièrement les limites des fonctions à une blonde (ou, si vous préférez, à une élève ayant, comme on dit, des “difficultés de compréhension” certaines). Je résous avec elle l’exercice suivant qui consiste à calculer la limite de la fonction 1/x-8 lorsque x tend vers 8 et lui démontre que :

A la fin de l’exercice, je lui ai demandé si elle avait tout compris :

“Oh oui, Harris ! J’ai tout compris!”

N’y croyant qu’à moitié, je lui pose l’exercice suivant.

Déterminer la limite de la fonction 1/x-5 lorsque x tend vers 5.

Voici sa réponse :

Comme on le dit souvent, il n’y a pas de mauvais élèves, seulement de mauvais professeurs… Mais là, quand même !

 

Quelques images récoltées ici et là sur le net et qui associent l’humour et l’amour avec les mathématiques !

 

 

Le zéro n’est pas rien, l’infini est plusieurs,  Pi n’a pas l’air naturel…

Les nombres nous en font voir de toutes les grandeurs ! Irrationnels, imaginaires ou transcendants… Les mathématiciens ne cessent de découvrir des nombres aux propriétés étranges.

Et pourtant, quoi de plus ordinaire que les nombres ?

Ce n’est pas pour rien qu’on les qualifie de naturels !

Mais les mathématiciens ne se contentent pas de les utiliser pour compter : ils démontrent, imaginent, conceptualisent. Regroupant les nombres en fonction de leurs propriétés, les pairs, les impairs, les premiers etc. Ils construisent des structures dans lesquelles effectuer des calculs.

Après une évolution de plusieurs millénaires, ils ont abouti à des familles de plus en plus riches, des structures mathématiques de plus en plus éloignées de la réalité tangible ou habituelle.

Jusqu’à décrire des nombres complexes qui associent une partie réelle à une partie imaginaire ! Vaste programme.

“Les nombres recouvrent tous les possibles ; ce sont en quelque sorte des modèles d’univers qu’il s’agit de décoder”, se passionne le mathématicien Canadien Simon Plouffe.

La scansion de 1, 2, 3, 4, 5, 6… a rythmé nos années de maternelle. Le nombre de crayons de couleurs dans une trousse, le nombre de pages d’un livre etc.

Il s’agit du début de l’ensemble des entiers naturels, les entiers positifs, noté N. De l’Italien : Naturale

On dispose de 10 chiffres pour écrire les nombres entiers. cette technique de numérotation s’appelle la numération en base dix. Elle obéit à quelques règles simples :

• le premier chiffre à droite représente le chiffre des unités du premier ordre.
• dans cette écriture, chaque chiffre représente 10 fois moins que celui qui est à gauche.
• le chiffre 0 tient la place des ordres manquant.

Attention à ne pas confondre “nombre” et “chiffre” ! 547 est un nombre écrit avec les chiffres 4,5,7. C’est la même nuance qu’il y a entre “mot” et “lettre”.

De nos jours, la base de dix est la plus répandue. on utilise cependant d’autres bases comme la base soixante pour les heures, minutes, secondes ainsi que les bases deux, huit et seize en informatique.

Le premier choc vient à l’école élémentaire avec l’ensemble Q des rationnels, ces nombres qui s’écrivent comme un rapport de deux entiers – par exemple 1/5, 2/3 ou 3/7.

Leur développement décimal, c’est à-dire le nombre de chiffres après la virgule qu’ils comportent, peut être fini, on les appelle alors décimaux. Noté D

Ainsi 1/4 = 0,25, est un nombre décimal alors que 1/3 = 0,333333 … N’en est pas un, il ne finit jamais.

Deuxième choc avec les nombres négatifs :

Quand j’ôte trois oranges de deux oranges, il reste moins une orange !   (2 – 3 = -1)… On peut aussi imaginer monter deux marches et en descendre trois, ce qui revient à n’en descendre qu’une seule (-1) !

Concept tout sauf naturel, mais cela ne dérange nullement le mathématicien qui y voit un outil de calcul bien utile.

Toutefois, s’il est fait mention dès le VIe siècle en Inde, de négatifs, assimilés à des dettes, ils n’accéderont au statut de nombres à part entière qu’avec la construction de l’ensemble des entiers relatifs, regroupant les entiers positifs et négatifs, par Richard Dedekind (mathématicien allemand) à la fin du XIXe siècle.

Un ensemble noté Z. De l’allemand Zahlen : compter

Plus tard, au collège (mais historiquement dès l’Antiquité grecque), nous découvrons que certains nombres ne peuvent s’exprimer sous la forme d’un rationnel.

L’exemple le plus frappant est celui de la diagonale d’un carré dont le côté est égal à 1 : cette diagonale vaut √2, un nombre qui ne peut être écrit sous forme d’un quotient d’entiers. La démonstration par l’absurde est un petit jeu intellectuel que j’adore faire à mes élèves.

Et voilà comment les irrationnels entrent en scène. On utilise le terme « irrationnel » non pas parce que ces nombres manquent de logique, mais simplement parce qu’ils ne peuvent pas se représenter sous la forme d’un « ratio », une fraction de deux nombres entiers.

Munis des relatifs, des rationnels et des irrationnels, l’allemand Richard Dedekind et Georg Cantor (mathématicien Russe) formalisent à la fin du XIXè et au début du XXè siècle un grand ensemble, celui des réels (R).

Pourquoi “réels” ?

Parce qu’ils sont les plus proches de notre idée de la réalité.

Pensons à une droite graduée partant de moins l’infini à plus l’infini.

Sur cette droite, arrêtons-nous en différents endroits. A chaque arrêt, et à condition bien sûr d’imaginer que nous avons un instrument de mesure infiniment précis, nous pouvons marquer un point dont la distance au point 0 est un nombre réel. Où que nous soyons sur la droite, il existe un nombre, et c’est en ce sens qu’il est “réel”.

Malgré cela, les nombres réels défient eux aussi notre intuition, car ils possèdent une étrange propriété : on ne peut les dénombrer, les compter.

La notion de dénombrabilité a été introduite par Cantor, le magicien des nombres qui, dès 1874, a distingué deux sortes de nombres réels.

D’une part, les nombres algébriques, c’est-à-dire qui sont la solution d’une équation polynomiale à coefficient entier (comme 3x² + 5x – 1 = O ou x³ – 7 = O) ;

D’autre part, les nombres qui ne sont pas solution de telles équations, appelés transcendants.

Si Cantor montre que les nombres algébriques sont dénombrables (on peut les compter), il montre également que les nombres transcendants ne le sont pas.

Autrement dit, l’ensemble des nombres réels est une infinité non dénombrable, constituée en très grosse majorité de nombres transcendants, infinis, non dénombrables…

Bientôt quelques articles sur des nombres vedettes : Pi, racine de 2, le nombre d’or etc.

Les Mathématiques

Qu’est-ce que c’est ? & Pourquoi faire ?

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«La science des mathématiques est l’expression de la beauté et de la justice. Et puisque que les mathématiques sont partout autour de nous, profitons du bonheur qu’elles nous apportent et rendons leur hommage en les étudiant avec respect et humilité.»

Harris Puisais, mathématicien et économiste français.

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Le mot « mathématique » comme aussi celui de « philosophie » serait dû à Pythagore (VI siècle avant JC).

(Je me permets d’ouvrir une petite parenthèse concernant Pythagore. On a accordé énormément de découvertes scientifiques à cet homme sans jamais avoir été absolument certain qu’il en était à l’origine. En effet, aucun écrit précis ne permet de lui attribuer autant d’avancées mathématiques. Pas plus qu’on est certain de son physique puisque les statues de lui ou autres représentations ont été faites bien après sa mort. On connait son école, dont il est le fondateur, l’école pythagoricienne. Ecole ou secte ? Les pythagoriciens n’étaient pas férus de propreté parait-il. Pythagore disait pouvoir expliquer le cosmos au moyen de nombres: “Les nombres sont les causes et les principes de toutes les choses”, il avait même réussi à fabriquer une gamme de musique, la gamme Pythagoricienne qui s’exprime par des rapports de nombres entiers, puis il a tenté d’expliquer l’astronomie par les mêmes règles: la musique des sphères et enfin, il a voulu associer les 5 éléments, terre, air, eau, feu et un 5ème inconnu à 5 figures géométriques, des polyèdres réguliers. C’est lorsqu’il a étudié le carré de côté égal à 1 qu’il s’est rendu compte que la diagonale n’était pas un nombre entier… Ses théories étaient déjà mises à mal au tout commencement.).

Il provient du grec mat^hêma qui veut dire « science » dans l’optique de l’époque, c’est-à-dire « toute la connaissance ».

Mat^hêmatika en grec comme mathematica en latin sont des pluriels, c’est pourquoi on dit des mathématiques. Certains essaient de parler de la mathématique, pour montrer son unité, mais cela ne prend pas. Notons qu’en anglais on dit mathematics avec un s, mais que c’est un mot singulier…

L’usage de la lettre X remonte à René Descartes.

Mais l’idée de donner un nom à l’inconnue d’un problème est plus ancienne encore, puisqu’elle vient du mathématicien grec Diophante IIIe siècle, qui l’appelait « arithmos », le nombre.

Sur la tombe de Diophante on pouvait lire: Passant, c’est ici le tombeau de Diophante. C’est lui qui t’apprend le nombre d’années qu’il a vécu. Sa jeunesse en a occupé la sixième partie. Puis sa joue se couvrit d’un premier duvet pendant la douzième. Il passa encore le septième de sa vie avant de prendre une épouse et, cinq ans plus tard, il eut un bel enfant qui après avoir atteint la moitié de l’âge final de son père, périt d’une mort malheureuse. Son père lui survécut quatre années. De tout ceci, déduis son âge.

Je vous laisse réfléchir un peu… c’est bon ? Oui en effet, il avait 84 ans !

Plus tard, le mathématicien perse Al-Kwarizmi, IXe siècle, la nomma « shay », la chose en arabe. Cette pratique parvint en France grâce aux Espagnols, qui transcrivaient ce mot en « xay ». Descartes simplifia en ne gardant que l’initiale, d’où « X ».

Son usage s’étendit ensuite, en particulier au monde judiciaire.

En mathématiques, la lettre « X » porte le nom d’inconnue quand il s’agit de résoudre une équation, d’indéterminée s’il est question de polynômes et de variable dans le cadre des fonctions. Un triple statut qui est parfois source de confusions.

Des outils pour une infinité d’applications

Les mathématiques possèdent plusieurs branches telles que :

• l’arithmétique,
• l’algèbre,
• l’analyse,
• la géométrie,
• la topologie,
• la logique mathématique, la statistique, les probabilités, etc.

Il existe également une certaine séparation entre les mathématiques pures et les mathématiques appliquées.

C’est un ensemble de connaissances abstraites résultant de raisonnements logiques appliqués à des objets divers tels que les nombres, les figures, les structures et les transformations. Les mathématiques sont aussi le domaine de recherche développant ces connaissances, ainsi que la discipline qui les enseigne.

Elles se distinguent des autres sciences par un rapport particulier au réel car l’observation et l’expérience ne s’y portent pas sur des objets physiques. Elles sont de nature entièrement intellectuelle, fondées sur des axiomes déclarés vrais ou sur des postulats provisoirement admis. Ces axiomes en constituent les fondements et ne dépendent donc d’aucune autre proposition. Un énoncé mathématique – dénommé généralement, après être validé, théorème, proposition, lemme, fait, scholie ou corollaire – est considéré comme valide lorsque le discours formel qui établit sa vérité respecte une certaine structure rationnelle appelée démonstration, ou raisonnement logico-déductif.

Un énoncé présenté comme plausible, mais qui n’a pas encore été établi comme vrai (“démontré”, en langage utilisé par les mathématiciens), s’appelle une conjecture.

Bien que les résultats mathématiques soient des vérités purement formelles, ils trouvent cependant des applications dans les autres sciences et dans différents domaines de la technique. C’est ainsi qu’Eugène Wigner parle de « la déraisonnable efficacité des mathématiques dans les sciences de la nature »

Comme beaucoup de monde sur cette planète vous vous posez la question : mais à quoi ça sert les maths?

La réponse est à la fois facile : les maths, ça sert partout, et difficile, car il n’est pas évident de donner des exemples qui se situent au niveau du commun des mortels.

En fait, des maths beaucoup plus élaborées sont présentes, mais de manière cachée, dans la vie de tous les jours. Lorsque vous regardez les prévisions météo à la télé, elles sont derrière, avec aussi beaucoup de physique et d’informatique, dans les modèles qu’il a fallu mettre en place pour comprendre le comportement de l’atmosphère.

L’outil principal dans tout cela est la notion de fonction.

Tout le monde a au moins une perception intuitive de ce que l’on appelle une fonction (numérique) : on se donne une suite de règles — une recette, ou une transformation — permettant de fabriquer un deuxième nombre, Y, à partir d’un premier x.

x peut être un entier, un réel, un complexe, un quaternion, en principe tout est envisageable, rien n’est interdit ; la recette, ce peut être par exemple d’élever x au carré et de lui ajouter 3, obtenant ainsi Y = x² + 3.

Techniquement, on note x → Y = f(x), f désignant la recette.

Ou encore : x → Y = f(x) = x² + 3.

Cela fait, une question vient immédiatement à l’esprit.

Il est sûr que quand x varie, Y — donc f(x) — varie aussi.

Dès lors, quand x varie gentiment autour d’une valeur fixe x₀, sans « sauter », la fonction f fait-elle de même ?

Si oui, on dit que f est continue en x₀. Techniquement, cela s’exprime en invoquant un processus de limite, difficile à bien comprendre, mais d’une importance capitale. Intuitivement, la continuité signifie que quand on s’approche de x₀ (supposé pour simplifier être un nombre réel), on trouve la même valeur pour f que l’on arrive en x₀ par au-dessous (par valeurs inférieures) ou par au-dessus (par valeurs supérieures).

Une autre notion essentielle est celle de dérivée, survenant naturellement quand on se demande comment varie Y (vite, pas vite ?) quand x varie. Pour cela, on fabrique le rapport entre l’accroissement ΔY et l’accroissement Δx au voisinage d’une valeur fixe x₀ : si ce rapport a une grande valeur, qu’elle soit absolue ou non, cela veut dire que la fonction varie vite, s’il est petit, la fonction varie lentement. Ensuite, on examine ce qui se passe quand Δx devient de plus en plus petit. Poussant les choses à l’extrême, on passe à la limite au sens du mathématicien et alors, de deux choses l’une :

Ou bien la limite existe — on dit alors que la fonction est dérivable en x₀, et on note f'(x₀) la valeur de la limite, ou elle n’existe pas.

Dans les cas ordinaires (les « bonnes » fonctions), la dérivée existe sauf peut-être pour quelques valeurs de x, le « quelques » pouvant d’ailleurs être très grand, voire aussi grand que le nombre de nombres entiers, N; on a longtemps cru que ce dernier cas, pour une fonction continue, était le pire possible, à la limite une invention du diable !

Vers 1870, Bolzano, Weierstrass et du Bois-Reymond ont exhibé des exemples de fonctions continues partout, mais n’ayant nulle part de dérivée, provoquant l’ire de Charles Hermite : « Je me détourne avec effroi et horreur de cette plaie lamentable des fonctions continues qui n’ont point de dérivées », et la perplexité de Poincaré : « Autrefois, quand on inventait une fonction nouvelle, c’était en vue de quelque but pratique ; aujourd’hui, on les invente tout exprès pour mettre en défaut les raisonnements de nos pères, et on n’en tirera jamais que cela. »

Il arrive aux plus grands génies de se tromper. Bien sûr, il n’y a rien de coupable dans l’imagination de Bolzano et ses compères, car les grandes découvertes mathématiques résultent souvent de prémisses qui semblent extravagantes pour le béotien, et parfois même monstrueuses pour les initiés. Et puis, on peut aussi se dire que si les mathématiciens sont en droit de soudainement sortir des sentiers battus, leurs apparentes divagations ne servent pas à grand-chose en pratique, et que ce n’est pas cela qui va inverser le champ magnétique terrestre ou faire sortir aujourd’hui de l’utopie les applications civiles de la fusion nucléaire.

Jean Perrin, prix Nobel de physique 1926, a apporté la première preuve de l’existence des atomes en utilisant une formule d’Einstein issue de ses travaux sur le mouvement brownien. Il a fait le lien entre les trajectoires de particules effectuant un tel mouvement et les fonctions non dérivables découvertes au XIX^e siècle.

Il aura fallu le génie de Jean Perrin, vers 1905 (année bénie des dieux) pour réaliser que ces monstres existent (presque) dans la nature. Étudiant le mouvement aléatoire de petites particules dans un fluide (mouvement brownien) à l’aide d’un simple microscope optique, Perrin écrit — la citation intégrale est de rigueur — : « On ne peut non plus fixer une tangente, même de façon approchée, à aucun point de la trajectoire, (En effet, pour construire une trajectoire, il faut définir avec une précision totale et au même instant, un point (qui donne la position) et en ce point une tangente (qui donne la vitesse)) et c’est un cas où il est vraiment naturel de penser à ces fonctions continues sans dérivées que les mathématiciens ont imaginées, et que l’on regarderait à tort comme des curiosités mathématiques, puisque la nature les suggère aussi bien que les fonctions à dérivées. »

Ainsi, les monstres imaginés par Bolzano existent dans la nature ? Presque, car ici intervient une subtilité à propos de laquelle il arrive que (certains) mathématiciens et (certains) physiciens s’empoignent comme des chiffonniers. La subtilité est que le mathématicien peut passer à la limite avec son crayon sur son papier, mais que le physicien, lui, ne peut jamais le faire, car la nature, souveraine, a ses règles et ses échelles dont nul ne peut disposer à sa guise.

Quand Perrin traduisait en ses termes sa fulgurante intuition, il savait bien que, strictement, ce n’était pas tout à fait vrai : pour fabriquer la tangente (donc la dérivée), il faut passer à la limite d’accroissements nuls (pour la position et l’intervalle de temps). Or lui, Jean Perrin, ardent défenseur de l’atomisme envers et contre tous, savait bien qu’il y a forcément une échelle de longueur minimale en dessous de laquelle le physicien est aveugle au sens où ce que lui disent ses yeux à plus grande échelle ne doit pas être extrapolé vers l’infiniment petit (tiens, tiens, comme en mécanique quantique ?).

Le physicien doit croire ce qu’il voit, avec ses yeux, avec ses appareils ou à travers les théories qui expliquent l’expérience, pas plus.

Cet exemple met en lumière ce qu’il ne faut pas considérer comme une ligne de fracture entre l’univers des mathématiciens et celui des physiciens — tout juste une ligne de démarcation, et encore est-elle floue —, gardant en tête que, finalement, le zéro et l’infini des premiers sont toujours à relativiser pour les seconds, ces derniers devant toujours se référer aux échelles physiques du problème qu’ils analysent. Pour qui fait de la spectroscopie atomique, la distance Terre-Lune, c’est vraiment l’infini, alors que pour le cosmologiste, c’est un « infiniment petit » ; pour qui se demande comment les atomes s’assemblent pour former des molécules, le noyau atomique est un point de rayon nul (et sans structure, comme tout bon point) alors que pour l’expert en gluons et quarks, le noyau, c’est un peu comme une galaxie.

L’importance des échelles se mesure aussi à propos de l’opération, à priori banale, en tout cas élémentaire, consistant à vouloir tracer le graphe des fonctions de Bolzano et Weierstrass. Le physicien est tenté de le faire, mais il s’aperçoit vite qu’il ne peut pas (ni lui, ni personne) : pour représenter graphiquement cette fonction, il faudrait un crayon dessinant un trait infiniment fin, et cela n’existe pas.

Alors il se contentera de dessiner, dans un premier temps, quelque chose comme ce qui est représenté sur la figure ci-dessous (extraite de l’ouvrage Des mathématiques pour les sciences, Claude Aslangul, De Boeck, Bruxelles, 2011). Ensuite, prenant un crayon beaucoup plus fin, il pourra faire le dessin de droite ; il pourrait recommencer, mais de toute façon, il ne pourra jamais faire beaucoup mieux, même avec un crayon ayant la pointe d’un quark. En tout cas, les dessins lui donnent une bonne idée du caractère monstrueux des objets qu’il manipule — et notamment de leur invariance d’échelle —, c’est déjà pas mal.

Représentation graphique d’une approximation de la fonction de Weierstrass.

Un zoom sur un intervalle ([0; 0,0001], par exemple) produit un graphe ayant grosso modo la même allure (à droite). © Claude Aslangul

Le mathématicien, lui, dira que le graphe est impossible à tracer, et il a raison. Mais est-ce vraiment une cause de divorce ?

Dans beaucoup d’autres domaines, notamment tout ce qui concerne la génétique (par exemple les tests ADN, dont on parle beaucoup dans les affaires policières) interviennent les statistiques.

En fait, dans le moindre des objets que vous manipulez dans la vie courante, il y a des maths. Lorsque, dans un magasin, le lecteur optique n’arrive pas à lire un code-barre et que la caissière doit le taper, les derniers chiffres sont ce qu’on appelle une clé, la machine les trouve à partir des autres par un petit calcul, et cela permet de détecter si la caissière se trompe. C’est aussi le cas pour les numéros de sécurité sociale.

Même si certaines des maths actuelles semblent être dépourvues d’applications, rien ne dit qu’elles n’en auront pas demain.

Voici deux exemples en ce sens.

Le premier concerne ce qu’on appelle les coniques.

Ce sont des courbes (ellipses, paraboles, hyperboles) que vous avez peut-être déjà vues et que les anciens Grecs étudiaient pour leurs propriétés géométriques (voir figure ci-dessous).

A l’époque, elles n’avaient pas d’applications. Ce n’est qu’au XVIIème siècle que Kepler un éminent astronome, s’est aperçu que les trajectoires des planètes étaient justement des ellipses. De nos jours, ces courbes sont utiles dès qu’on envoie un satellite (et vous savez combien c’est important pour le téléphone, la télévision, le GPS, etc.)

L’autre exemple concerne l’arithmétique.

Si on avait demandé, dans les années 1970, à quoi servaient les nombres premiers dans la vie courante, on aurait répondu sans hésiter, à rien, et qu’en tout cas ils ne servaient pas à faire la bombe atomique…

Quarante ans plus tard, il faut reconnaître que l’on aurait dit une bêtise, puisque les nombres premiers, avec le code RSA (Le chiffrement RSA (nommé par les initiales de ses trois inventeurs) est un algorithme de cryptographie asymétrique, très utilisé dans le commerce électronique, et plus généralement pour échanger des données confidentielles sur Internet. Cet algorithme a été décrit en 1977 par Ronald Rivest, Adi Shamir et Leonard Adleman.

RSA a été breveté par le Massachusetts Institute of Technology (MIT) en 1983 aux États-Unis. Les maths jouent maintenant un rôle de premier plan dans presque tous les secteurs de la communication, de la finance, etc. et que parmi les plus grands utilisateurs se trouvent justement … les militaires.

Météo, informatique, trafic routier: les maths sont partout autour de nous…

Pour beaucoup, les maths sont aussi obscures qu’un trou noir dans le Cosmos, mais paradoxalement, nous y faisons appel tous les jours. Au-delà d’une bonne vieille règle de trois pour équilibrer une recette, ou d’une équation pour savoir combien dépenser pendant les soldes, voici plusieurs exemples de cas concrets où les maths nous rendent quelques services. Sans forcément qu’on s’en rende compte.

Je parlais à l’instant de la finance, mon père faisait partie de l’équipe de mathématiciens et d’économistes qui ont mis au point la formule du CAC 40 (figure ci-dessous)

CAc = (initialement qui signifiait « Compagnie des agents de change » et désormais devenu : cotation assistée en continu) est le principal indice boursier de la Bourse de Paris.

Créé avec 1 000 points de base au 31 décembre 1987 par la Compagnie des agents de change, l’indice CAC 40 est déterminé à partir des cours de quarante actions cotées en continu sur le premier marché parmi les cent sociétés dont les échanges sont les plus abondants sur Euronext Paris qui fait partie de Euronext, la première bourse européenne. Ces sociétés, représentatives des différentes branches d’activités, reflètent en principe la tendance globale de l’économie des grandes entreprises françaises et leur liste est revue régulièrement pour maintenir cette représentativité.

Les prévisions météo.

Derrière le sourire d’Evelyne Dhéliat se cache une batterie de calculs insoupçonnés. «Les prévisions sont le fruit de modèles très difficiles et extrêmement puissants», souligne Marc Peigné, mathématicien et président de la SMF, la société mathématique de France. Plusieurs branches des maths seraient utilisées en météorologie comme les probabilités, les équations à dérivées partielles et les statistiques. Mais aussi la mécanique des fluides, propre à la physique.

Les requêtes sur les moteurs de recherche.

Taper une occurrence dans Google pour obtenir une liste de résultats est également le fruit d’opérations mathématiques complexes. Anne De Bouard, directrice de recherche au CNRS, évoque le théorème de point fixe utilisé par le moteur de recherche. Google fait aussi appel à un intermédiaire entre informatique et mathématiques, l’algorithmique, qui se rapproche de l’algèbre.

Le cryptage des données bancaires.

Il s’agit du traitement de ce que les spécialistes appellent la gestion des flux. Les questions de cryptographie et de sécurisation des données nous échappent, mais feraient appel à des mathématiques très structurées, selon Peigné: «Si on ne veut pas que des codes de carte bleue soient interceptés, on fait indirectement appel à la théorie des nombres (les fameux nombres premiers indivisibles). On cherche les nombres premiers les plus importants. Cela permet d’affiner et renforcer encore la sécurité de ces codes», avance le mathématicien.

Rappelons brièvement l’utilité des clés dans le processus de cryptage/décryptage. Généralement un message secret est envoyé sous forme codée, une clé de conversion permettant de traduire le message codé en clair. Cette clé évite de devoir chiffrer et déchiffrer le message car l’émetteur et le destinataire disposent chacun d’une clé générant son propre système d’encryptage. Cette protection empêche même les concepteurs du programme d’encryptage de déchiffrer le message codé.

La sécurité d’un message codé dépend du nombre de clés. Un système à clé unique par exemple permet de “casser” un système, mais en général il va essayer systématiquement toutes les clés possibles sur le message à déchiffrer jusqu’à pouvoir le lire.

Certains systèmes comme la substitution mono alphabétique simple, dispose d’un nombre de clés gigantesque : 26! = 26 x 25 x 24 x 23 x 22…x 1 permutations possibles des lettres de l’alphabet, soit environ 4 x 10²⁶ possibilités.

Le succès est donc loin d’être garanti dans un temps relativement court. Pour remédier à ce problème on peut utiliser des variations de fréquence des lettres dans les différentes langues naturelles, ce qui permet d’aboutir à des systèmes de cryptage disposant d’un nombre de clés réduit mais qui s’avèrent souvent beaucoup plus sûrs.

Devant ce défi qui intéresse autant les majors de l’informatique que les services d’espionnage ou l’armée, des centaines de chercheurs aux quatre coins du monde se sont donnés pour objectif de construire le premier ordinateur quantique d’ici quelques années.

Certains très optimistes avancèrent même la date de 2020. Il est toutefois peu probable que nous verrons des ordinateurs quantiques au quotidien avant plusieurs décennies… Quoiqu’il en soit, la compétition est ouverte, avis aux chercheurs !

La régulation du trafic routier.

Non, Bison Futé ne prédit pas les embouteillages en tendant une narine au vent. La régulation des vitesses sur les autoroutes, les annonces de bouchons, dépendent aussi des maths qui offrent des marges d’erreur de plus en plus fiables. Idem pour la gestion des flux ferroviaires. Derrière eux se cachent de puissants calculs de probabilités.

L’écoute de musique sur lecteur MP3.

Quand un son numérisé trouve sa place dans un boîtier miniature, le transfert s’effectue par un procédé mathématique complexe, appelé «traitement du signal» par les scientifiques. Anne De Bouard parle de «modélisation et compression du son à travers des algorithmes spécifiques.»

La conception automobile.

Désormais, aucune voiture ne sort de l’usine sans être passée par un processus de simulation mathématique poussé. L’aérodynamisme, la climatisation dans l’habitacle, les interférences électromagnétiques émanent d’équations qui échappent au commun des mortels.

Mais qui, au final, s’avèrent indispensable pour toute personne sortant de chez le concessionnaire.

La maîtrise des opérations est utile pour faire ses courses, qu’il faut savoir calculer des longueurs ou des aires lorsqu’on bricole et que la connaissance des pourcentages et de la proportionnalité peut servir pour calculer l’impôt qu’on devra payer ou les intérêts d’un prêt bancaire.

Vous vous en êtes sûrement aperçus au fil des années, le temps semble passer plus vite lorsque l’on vieillit.

C’est cette perception qui peut paraître abstraite que je vais essayer de démontrer, mathématiquement parlant. Ainsi on passera de l’abstrait au pseudo concret.

Le temps semble passer plus vite lorsque l’on vieillit. Et ceci a du sens : lorsque l’on a 10 ans, une année représente 10 % de notre vie, et semble vraiment une durée très longue. À 50 ans, une année ne représente plus que 2 % de notre vie, et peut sembler durer 5 fois moins longtemps.

C’est en faisant cette observation que l’on arrive à la conclusion que l’âge réel (AR) doit être corrigé par la durée apparente d’une année (notée DAA).

La durée apparente d’une année est inversement proportionnelle à l’âge réel de la personne (plus on est âgé, moins une année dure longtemps en apparence).

On obtient :

DAA = a/AR 

La constante de proportionnalité a est définie comme “l’âge auquel une année semble durer une année” et est fixée arbitrairement à 20 ans.

a = 20

On définit maintenant le concept de l’âge perçu (AP) comme l’intégrale du temps de la durée apparente d’une année de 1 à l’âge réel :

Maintenant, critiquons cette formule obtenue.

• Le choix de la constante a est totalement arbitraire. Il n’y a pas une justification rationnelle à sa valeur qui est fixée selon une simple perception tout à fait personnelle et subjective j’en conviens.
• L’intégrale semble incorrecte car sa borne inférieure a été fixée à 1 et non à 0 (ce qui correspondrait à la naissance). Un tel choix est justifié par le fait que le logarithme népérien ne pouvait pas être évalué en 0.

Tentons de redéfinir l’âge perçu. La perception habituelle du temps indique que l’âge réel (AR) est une fonction affine du temps.

AR = bt + c

D’ordinaire, les paramètres b et c valent respectivement 1 et 0. Cependant, chacun a un rôle à jouer dans la perception du temps.

• Le paramètre b indique la vitesse a laquelle la personne vieillit : certaines personnes restent des bébés toute leur vie tandis que d’autres sont déjà des papis à 20 ans.
• Le paramètre c est l’ordonnée à l’origine de la perception du temps. N’avez-vous jamais rencontré des parents fiers de leur enfant parce que celui-ci marchait plus tôt que la normale ? Ce jeune et talentueux chef d’entreprise ? Ces personnes ne sont pas brillantes, elles ont un paramètre c plus fort que les autres.

Il est clair qu’avec cette définition, l’âge réel (AR) d’une personne n’est pas proportionnel au temps. Pareil que précédemment, la durée apparente d’une année (DAA) n’est pas constante :

On peut transformer l’expression pour supprimer un paramètre et en faire apparaître deux nouveaux.

Les paramètres d=a/b et e=c/b seront alors les conditions aux limites.

Pour obtenir l’âge perçu, on travaille avec l’intégrale de la durée apparente d’une année. L’intégrale est évaluée en fonction du temps, et non en fonction de l’âge réel car l’âge réel est une fonction du temps.

La condition limite inférieure (t = 0) doit donner un âge perçu de 0 (AP = 0). Ainsi,     e = 1.

La condition limite supérieure est moins facile. On doit avoir à t = t max, AP = t. À la mort, l’âge perçu et l’âge réel sont de nouveaux égaux. Pour autant, personne ne connait avec certitude son espérance de vie. Si l’on considère une personne dont l’espérance de vie est de 80 ans (t = 80, AP = 80), on obtient :

Cette formule peut donc être utilisée pour calculer l’âge perçu et l’avancement de la vie en pourcentage associé :

Et en traçant un petit graphique :

La vie est à moitié “terminée” à 10 ans et aux 3/4 à 30 ans. Il faut noter la rapide progression lors de l’enfance. Les grands changements arrivent pendant l’enfance : l’apprentissage de la parole, de la marche, de la lecture, des nombres… Des choses qui sont apprises au plus jeune âge et qui restent pour toute la vie.

 Conséquences

Les vacances d’été duraient une éternité lorsque j’étais tout petit ! Oui. Quand j’avais 6 ans, la durée apparente d’une année était environ de 3 ans. Ainsi, mes 2 mois de vacances d’été paraissaient en durer 6.

Maintenant que je suis plus vieux, je peux mieux discuter avec mes parents. Vrai. Plus je deviens vieux, moins la différence d’âge se fait sentir, puisque je me rapproche d’eux considérablement.

La vie commence à 65 ans. Des personnes proches de la retraite disent souvent ceci. C’est faux, à 65 ans, il ne reste plus que 5 % de votre âge perçu à vivre.

Votre temps est précieux…

Merci de m’avoir lu 🙂 et un grand merci à Antoine Augusti pour m’avoir aidé dans la rédaction de cet exposé totalement inutile mais qui m’a fait passer un peu de temps…

 

T. L. Freeman, Why it’s later than you think, J. Irr. Res., 1983.