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Archive pour la catégorie ‘Mathématiques’

Un nombre qui n’a pas toujours été considéré comme tel. Son apparition fut longue et délicate suivant les civilisations qui n’ont pas toutes ressenti le besoin d’inventer un symbole pour représenter l’absence d’objets ! Et quand ce besoin s’est fait sentir, son introduction a suscité beaucoup de crainte et de mystère. Le zéro est par sa nature différent des autres chiffres.

Le zéro (de l’italien zéfiro devenu par suite zero), est un chiffre dont le nom est dérivé de l’arabe «sifr», signifiant « vide » . Ce symbole, sous forme de petit cercle, est utilisé pour « garder le rang » et marquer une position vide dans l’écriture des nombres en notation positionnelle.

Le nombre zéro est un objet mathématique permettant d’exprimer une absence comme une quantité (nulle) : c’est le nombre d’éléments de l’ensemble vide. Il délimite les nombres positifs (+) des nombres négatifs (-) et est conçu comme le plus petit des entiers naturels. Ses propriétés arithmétiques particulières, notamment l’impossibilité de la division par zéro, impliquent parfois de traiter son cas à part. Il tient aussi lieu d’origine pour repérer des points sur la droite réelle.

Plus généralement, zéro désigne l’élément neutre pour l’addition dans la plupart des groupes abéliens et en particulier dans les anneaux, corps, espaces vectoriels et algèbres, parfois sous le nom d’élément nul. Il est aussi l’élément absorbant pour la multiplication.

Les Babyloniens ont utilisé les premiers, un peu plus de 200 ans av. J.-C., une forme de chiffre zéro à l’intérieur d’un nombre (par exemple : 304) mais jamais à droite du nombre, ni à gauche. C’est l’Inde qui, en reprenant l’héritage culturel des Grecs, perfectionne la numération. Elle n’utilise pas seulement le zéro comme notation à la manière babylonienne, mais aussi comme un nombre avec lequel opérer. Notion et notation indiennes du zéro sont ensuite empruntées par les mathématiciens arabes puis par les Européens.

Histoire

Zéro en tant que chiffre

Il est apparu trois fois dans l’histoire des systèmes de numération élaborés par différents peuples et civilisations.

La première apparition du zéro en Mésopotamie semble remonter au III^e siècle av. J.-C., à l’époque des Séleucides. Il n’était cependant pas utilisé dans les calculs et ne servait que comme chiffre. La première trace du zéro nous parvient donc des babyloniens (3e siècle avant J.C.). Leur système de numération tenant sur la combinaison du principe de position et du principe additif est parfois ambigu.
Comment écrire par exemple le nombre « 305 » si on ne dispose pas du symbole « 0 ». On peut écrire « 3 5 », mais ne risque-t-on pas de confondre avec « 35 » ? Les scribes ont l’idée d’un signe de séparation des symboles se présentant sous la forme d’un double chevron exprimant qu’il n’y a rien.

C’est le plus vieux zéro connu mais ce n’est pas encore un nombre ni même une quantité. On le qualifierait plutôt de «pense bête» ou de «marque-place» qui ne servait à autre chose que de fixer la bonne place des chiffres dans le système de numération de position. Ignoré par les Romains, il fut repris et mieux utilisé encore par les astronomes grecs.

Les inscriptions sur os et écailles (jiaguwen) découvertes dans la région de Anyang, dans l’actuelle province du Henan, à la fin du XIX^e siècle, nous apprennent que, dès les XIV^e ‑ XI^e siècles av. J.-C., les Chinois utilisaient une numération décimale de type « hybride », combinant neuf signes fixes pour les unités de 1 à 9, avec des marqueurs de position particuliers pour les dizaines, centaines, milliers et myriades. Au I^er siècle av. J.-C., en Chine antique, la numération à bâtons utilise des espaces entre les chiffres pour représenter les zéros.

La troisième fois fut celle dont nous sommes toujours héritiers, vraisemblablement dans le monde indien au III^e siècle ou même avant.

En tant que nombre

Mais le coup de génie vient encore de l’Inde où le zéro apparaît vers le Veme siècle. A l’opposé des grecs, la religion hindoue intègre totalement le vide et l’infini. Elle voit le cosmos comme un univers qui s’étend à l’infini alors que pour les pythagoriciens, le cosmos est “prisonnier” dans des sphères de différentes tailles qui émettent de la musique : l’harmonie des sphères. Le zéro n’est plus seulement un symbole utilisé pour marquer un vide, mais il devient un nombre à part entière.
En 628, dans un traité d’astronomie appelé le Brahma Sphuta Siddhanta, Brahmagupta (598 ; 660) définira le zéro comme la soustraction d’un nombre par lui-même (a – a = 0). Il établira aussi qu’un nombre multiplié par zéro est égal à zéro. A cette époque, on l’appelle « sunya » qui se traduit par « vide » « espace » ou « vacant » en sanskrit (la langue indienne).

Son usage moderne, à la fois comme chiffre et comme nombre, est hérité de l’invention indienne des chiffres nagari vers le V^e siècle. Le mathématicien et astronome indien Brahmagupta est le premier à définir le zéro dans son ouvrage Brâhma Siddhânta. Ce mot, d’abord traduit en arabe par « ṣifr », ce qui signifie « vide » et « grain », a ensuite donné en français les mots chiffre et zéro (de par la traduction de sifr en l’italien zephiro, à partir duquel a été formé zevero qui est devenu zero). La graphie du zéro, d’abord un cercle, est inspirée de la représentation de la voûte céleste. Brahmagupta tente en vain de calculer 1:0 et 0:0. Pour la 2ème division, il affirme que le résultat est 0. Ce qui est faux, il s’agit d’une forme indéterminée. Quant à la première, il faudra attendre un autre mathématicien indien, Bhaskara (1114 ; 1185) pour apporter la solution. Effectué à la calculatrice, 1:0 provoque une erreur. En effet, la division par zéro est interdite en mathématiques. Il s’agit en fait d’un calcul de limite. En prenant des valeurs de x de plus en plus proches de zéro, on s’aperçoit que 1:x prend des valeurs de plus en plus grandes. Bhaskara découvre que le zéro et l’infini sont intimement liés par le fait que 1:0 n’est autre que l’infini !

Comme l’indique l’étymologie, son introduction en Occident est consécutive à la traduction de mathématiques arabes, notamment les travaux d’al-Khwārizmī, vers le 8^e siècle. En 976, Muhammad Ibn Ahmad, dans ses « Clés des Sciences » suggère -si aucun nombre n’apparait à la place des dizaines – d’employer un petit cercle pour « garder le rang ».

Les chiffres indiens sont importés d’Espagne en Europe chrétienne aux environs de l’an mil par Gerbert d’Aurillac, devenu le pape Sylvestre II. Le zéro ne se généralise pas pour autant dans la vie courante, les chiffres indiens servant surtout à marquer les jetons d’abaque de 1 à 9.

Léonard de Pise, dit Fibonacci, a une influence déterminante. Il reste plusieurs années en Afrique du Nord en Algérie et exactement à Béjaïa ou Bougie et étudie auprès d’un professeur local. Il voyage également en Grèce, Égypte, Proche-Orient et confirme l’avis de Sylvestre II sur les avantages de la numération de position. En 1202, il publie le Liber Abaci, recueil qui rassemble pratiquement toutes les connaissances mathématiques de l’époque, et malgré son nom, apprend à calculer sans abaque.

Dans son ouvrage Zéro, la biographie d’une idée dangereuse, Charles Seife explique en quoi le zéro a permis la compréhension de nombreux concepts dans plusieurs domaines en plus des mathématiques, notamment la thermodynamique et la mécanique quantique. Entre autres, les travaux de Isaac Newton, Gottfried Wilhelm Leibniz, Richard Suiseth et Nicholas Oresme à propos des suites mathématiques, qui lient étroitement zéro avec l’infini.

Les deux zéros des Mayas

Le zéro est utilisé par les Mayas durant le I^er millénaire, comme chiffre dans leur système de numération de position, comme nombre et comme ordinal dans le calendrier, où il correspond à l’introduction des mois. En les confondant dans une transcription unique, Sylvanus Morley a masqué qu’il s’agit de deux concepts et de deux zéros différents. L’un correspond à un zéro ordinal des dates, l’autre est un zéro cardinal des durées, jamais confondus dans leurs usages par les scribes

Utilisations

Il est aujourd’hui à la base de notre système de mesure de la température :

• 0 °C : température du passage de l’eau de l’état solide (glace) à l’état liquide, à une pression ambiante de 1 013 hPa ;
• 0 K : zéro absolu, température la plus basse possible (−273,15 °C), pour laquelle l’énergie vibrationnelle et cinétique des molécules est nulle. En gros, plus rien ne bouge !

Il n’y a pas d’année zéro dans le calendrier grégorien. En effet, l’usage du nombre 0 en Europe est postérieur à la création de l’anno Domini par Dionysius Exiguus au VI^e siècle. Cependant pour simplifier les calculs d’éphémérides, les astronomes définissent une année 0 qui correspond à l’année -1 des historiens, l’an -1 des astronomes correspondant à l’an -2 des historiens et ainsi de suite…

C’est ainsi que le III^e millénaire et le XXI^e siècle ont commencé le 1^er janvier 2001.

Minuit peut se noter 00:00.

Les informaticiens ont l’habitude de compter à partir de 0 et non de 1. La raison en est que la numérotation d’éléments stockés de façon continue dans une zone de stockage (disque, mémoire, etc.) se fait par décalage par rapport à une adresse de début : le premier élément est celui au début de la zone (+ 0), le second élément est le suivant (+ 1), etc. Ce double standard des numérations à partir de 0 et de 1 (chaque système ayant ses avantages et inconvénients) est la source de nombreuses erreurs de programmation.

Le zéro comme notation des bases 2, 8, 10, 16…

Dans la base dix que l’on utilise, le chiffre le plus à droite indique les unités, le deuxième chiffre indique les dizaines, le troisième les centaines, le quatrième les milliers…

Le zéro joue donc un rôle particulier dans le système arithmétique positionnel, quel qu’il soit du reste.

Rappelons que l’usage de la base 10, en provenance de l’Inde, s’est imposé en France par rapport à d’autres bases, par exemple 12 et 60 qui étaient utilisées dans certaines civilisations, le système vicésimal ayant laissé des traces dans la langue française, et le système duodécimal des modes de calcul chez les Britanniques.

Lorsqu’il y a des unités résiduelles, par exemple dans trente-deux (32), le chiffre des unités (2) permet de comprendre que l’autre chiffre (3) indique les dizaines.

Si l’on a un nombre entier de dizaines (par exemple trois dizaines, trente), il n’y a pas d’unité résiduelle. Il faut donc un caractère qui permette de marquer que le 3 correspond aux dizaines, et ce caractère est le 0 ; c’est ainsi que l’on comprend que « 30 » signifie « trois dizaines ».

On aurait pu utiliser n’importe quel autre caractère, par exemple un point ; ainsi, deux-cent trois se noterait « 2.3 ».

Nous l’avons souligné plus haut, l’utilisation d’un caractère « bouche-trou » remonte à la numération babylonienne, mais il ne s’agit pas du concept d’« absence de quantité », il s’agit juste d’une commodité de notation. Dans la numération romaine, cet artifice n’est pas utile puisque les unités (I, V), les dizaines (X, L), les centaines (C, D) et les milliers (M) sont notés avec des caractères différents. En contrepartie, la notation de nombres supérieurs à 8 999 devient problématique et les reconnaissances de structures pour le calcul mental rapide bien plus pénibles.

Le zéro comme absence de quantité

Le fait d’exprimer l’absence de quantité par un nombre n’est pas une évidence en soi. L’absence d’un objet s’exprime par la phrase « il n’y en a pas » (ou « plus »).

Les nombres sont déjà une abstraction : on ne s’intéresse pas à la qualité d’un objet, mais juste à sa quantité, la dénombrabilité (le fait que des objets soient similaires mais distincts). Avec le zéro, on va jusqu’à nier la quantité.

Lorsque l’on additionne ou multiplie deux nombres, on a derrière l’image de regrouper deux tas d’objets semblables, deux troupeaux. Cette image ne tient plus lorsque l’on manipule le zéro.

L’invention du zéro a permis l’invention des nombres négatifs.

Propriétés arithmétiques et algébriques

En tant que nombre entier, zéro est divisible par tout autre entier relatif.

Pour tout nombre réel (ou complexe)  :

• (0 est élément neutre pour l’addition)
• (0 est élément absorbant pour la multiplication)
• si alors
• 0⁰ est considéré tantôt comme égal à 1 (en algèbre et en théorie des ensembles), tantôt comme indéfini pour l’évaluation des limites en analyse (c’est une forme indéterminée du calcul des limites).
• par extension de la factorielle à l’aide de la fonction Gamma,
• 
• non défini (voir article division par zéro)
• non défini, en remarquant toutefois que le calcul lorsque les deux valeurs tendent vers zéro est la base du calcul différentiel.
• Pour tout entier n > 0, la racine n-ième de 0 est égale à 0.
• Zéro est le seul nombre qui est à la fois réel, positif, négatif et imaginaire pur.

Usage étendu de zéro en mathématiques

• Zéro est l’élément neutre dans un groupe abélien muni de la loi ou l’élément neutre pour l’addition dans un anneau.
• Un zéro d’une fonction est un point dans le domaine de définition de la fonction dont l’image par la fonction est zéro ; aussi appelé racine, surtout dans le cas d’une fonction polynôme.
• En géométrie, la dimension d’un point est 0.
• En topologie, la dimension topologique de l’ensemble de Cantor est 0, quoiqu’il ait une dimension de Hausdorff non nulle.
• En géométrie analytique, 0 a pour nom l’origine, notée aussi O (un cas où l’ambiguïté est bénigne).
• Le concept de « presque » impossible en probabilité. Plus généralement, le concept de presque nulle part en théorie de la mesure.
• Une fonction zéro est une fonction avec 0 comme seule valeur de sortie possible. Une fonction zéro particulière est le morphisme zéro. Une fonction zéro est l’élément neutre dans le groupe additif des fonctions.
• Zéro est l’une des trois valeurs de retour possibles de la fonction de Möbius. Si on entre un entier ou , la fonction de Möbius retournera zéro.

Dans le cadre de mon enseignement aux différents stages ayant trait aux risques radiologiques, les stagiaires (techniciens du CEA, du CERN, du laboratoire central de la préfecture de Paris, militaires du centre de défense NRBC, pompiers professionnels spécialistes NRBC (BSPP, marin pompiers de Marseille etc.)  sont confrontés à des calculs de radioprotection.

Ces calculs leur permettent de prévoir et donc d’organiser les secours en présence de sources radioactives ponctuelles variées. En fonction de divers paramètres (nature du radioélément, période de radioactivité, activité connue, informations obtenues à partir du guide pratique des radionucléides etc.) ils doivent être en mesure de prévoir les risques d’irradiation de la population et des intervenants et de s’assurer que les valeurs que prévoit la législation ne sont pas dépassées. Sur le terrain, ces calculs sont en général fait “à la louche” en privilégiant les valeurs les plus élevées dans un soucis de sécurité. Mais les apprenants ont également, durant leur formation, à réaliser des calculs précis en rapport avec des exercices de raisonnement tactique qui sanctionnent la réussite (ou l’échec !) à leur stage. Cette fois les résultats se veulent les plus précis possibles. C’est pourquoi il m’a paru nécessaire d’améliorer une méthode de calcul en faisant appel à des outils de mathématiques assez simples qui permettent d’affiner certaines équations.

C’est ce travail que je me permets de vous présenter.

Le postulat de base :

Les rayonnements électromagnétiques X ou γ sont les rayonnements qui intéressent en premier lieu les intervenants. En fonction de leur énergie initiale, ils interagissent avec la matière qu’ils traversent notamment sur les particules du noyau de l’atome : protons et neutrons, ou sur les électrons des couches internes ou externes, (on parle d’« Interactions rayonnements-matière ») principalement par effets photoélectrique pour les basses énergie et la matière traversée de faible numéro atomique, Compton pour des énergies moyennes et production de paires pour des énergie importante.

Lors de l’interaction par effet Compton, un rayonnement électromagnétique diffusé est créé. Nous considérerons ce processus comme défavorable du point de vue de la radioprotection car il s’ajoute au rayonnement initial et augmente le risque d’irradiation.
Pour se protéger, nous utilisons des écrans de matériaux de forts numéros atomiques pour limiter les interactions par effet Compton et favoriser celles par effet photoélectrique moins dangereux.
L’exemple de matériau le plus courant est le plomb (exemples : châteaux de stockage, poubelles blindées, enceintes blindées, etc.). Néanmoins, d’autres matériaux sont utilisés en fonction des applications (l’eau pour son faible coût et sa facilité d’utilisation dans le cas des piscines de stockage dans les centrales nucléaires, les différents bétons pour la construction de casemates. . .).
En règle générale dans la pratique, les écrans doivent être placés aussi près que possible des sources radioactives pour diminuer le poids et le coût de la protection.

• Loi d’atténuation pour un faisceau parallèle mono-énergétique : cas simplifié

Considérons un faisceau parallèle et mono-énergétique d’un rayonnement électromagnétique traversant normalement un écran d’épaisseur x (dans le cas d’une source ponctuelle, un faisceau parallèle ne peut être généré que si cette source est située infiniment loin de l’écran, sur le terrain il suffit que la distance séparant l’opérateur soit au minimum égale à 5 fois la taille de la source, figure ci-dessous).

Nous savons que connaissant le nombre de rayons incidents N0, nous pouvions écrire :

N étant le nombre de rayonnements n’ayant subi aucune interaction dans la traversée de l’écran et μ le coefficient d’atténuation linéique.
De la même manière, si ◦ D0 est le débit de dose absorbée à l’entrée de l’écran et ◦D le débit de dose absorbée à la sortie, dû aux rayons émergents dans la direction initiale avec l’énergie initiale (donc n’ayant pas interagi), alors nous pouvons écrire :

la valeur μ dépend de la nature du matériau constituant l’écran et de l’énergie du rayonnement électromagnétique (μ a les dimensions de l’inverse d’une longueur).

• Loi d’atténuation pour un faisceau parallèle mono-énergétique : cas général

En réalité, seuls les rayonnements ayant interagi dans l’écran par effet photoélectrique sont définitivement arrêtés. L’écran est source de rayonnements diffusés (principalement dus à l’effet Compton), d’énergies inférieures à l’énergie initiale, émis dans des directions diverses, dont une partie contribue à augmenter le débit de dose absorbée en un point quelconque derrière l’écran (Figure ci-dessous). C’est pourquoi la formule précédente donnant l’atténuation doit être corrigée par un facteur multiplicatif supérieur à 1, appelé facteur d’accumulation en dose majoré que l’on note B_D∞ ou « build up factor ».

 

B_D∞ dépend :
– de l’énergie du rayonnement γ (des photons) ;
– de la nature et des dimensions de l’écran ;
– de la situation du point de mesure ;
– de l’environnement.
Le calcul de B_D∞ dans chaque situation particulière est donc infaisable. Nous lui substituerons une valeur majorée, notée  B_D∞ obtenue dans le cas d’un milieu semi-infini, éliminant ainsi les paramètres géométriques.

B_D∞ n’est alors fonction que du produit μx (μ étant le coefficient d’atténuation linéique et x l’épaisseur du mur).

Des tableaux rassemblent les valeurs de μ et de BD∞ respectivement dans le béton, le plomb et l’eau pour différentes valeurs de μx en fonction de l’énergie du rayonnement électromagnétique.

On peut donc en utilisant ces abaques retrouver une valeur approximative de B_D∞ et de μ.

Mon travail a consisté à déterminer quelle pouvait être l’équation mathématique à utiliser pour déterminer la valeur de B_D∞ et de μ de façon beaucoup plus précise.

• En reprenant le tableau permettant le calcul du coefficient d’atténuation linéique ci-dessous,

On est capable de tracer une courbe d’interpolation pour le plomb que l’on va considérer comme étant en réalité une succession de segments divers (figure ci-dessous). L’interpolation linéaire est la méthode la plus simple pour estimer la valeur prise par une fonction continue entre deux points déterminés (interpolation). Elle consiste à utiliser pour cela la fonction affine (de la forme f(x) = a.x +b) passant par les deux points déterminés. Cette technique était d’un emploi systématique lorsque l’on ne disposait que de tables numériques pour le calcul avec les fonctions transcendantes : les tables comportaient d’ailleurs à cet effet en marge les « différences tabulaires », auxiliaire de calcul servant à l’interpolation linéaire.

Même si le calcul n’est pas difficile, il est important que la valeur obtenue par interpolation soit déterminée correctement et avec rigueur.

La formule d’interpolation linéaire s’énonce comme suit :

Où :

• A_sup. = Valeur supérieure connue
• A_inf. = Valeur inférieure connue
• B_sup. = Valeur supérieure correspondante
• B_inf. = Valeur inférieure correspondante
• A_int = Valeur intermédiaire connue
• B_int = Valeur intermédiaire correspondante inconnue

On peut également définir l’interpolation linéaire de la façon suivante : Soit f une fonction définie sur R , [a; b] un intervalle de R et c un nombre réel . Quand il n’est pas possible de calculer l’image de c par f , on utilise une interpolation linéaire, cela consiste à remplacer f(c) par g(c) ou g est la fonction affine telle que g(a) = f(a) et g(b) = f(b).

Cela consiste à remplacer la courbe représentative de f sur [a; b] par la droite (AB) ( On dit que l’on a déterminer f(c) par interpolation linéaire.)

Reprenons notre courbe de valeurs :

Entre deux points P1 et P2 de coordonnées respectives (E 1 ; μ1) et (E 2 ; μ2), l’interpolation linéaire du point intermédiaire Pi (E i ; μi) est donnée par la formule suivante :

μi = p. (Ei – E 1) + μ1

Avec la pente p qui s’exprime comme :

Ce qui donne en remplaçant P:

Et par conséquent :

• Concernant le facteur d’accumulation de dose, on procède à l’identique en constatant toutefois que le sens de la pente est différent (pente ascendante)

Entre deux points P1 et P2 de coordonnées respectives (μx1 ; B_D∞1 ) et (μx2 ; B_D∞2 ), l’interpolation du point P intermédiaire de coordonnées : (μxi ; B_D∞i ) est donnée par la formule suivante :

B_D∞ i = p. (μxi – μx1) + B_D∞1

Avec la pente p qui s’exprime comme :

Ce qui donne :

Et par conséquent :

Ainsi, connaissant les valeurs données par les abaques, il est possible de calculer de façon précise les valeurs intermédiaires tant du coefficient d’atténuation linéique que du facteur d’accumulation de dose.

Les phénomènes de diffusion dans l’écran ne sont pas à négliger et il est toujours préférable d’en tenir compte pour effectuer ce genre de calcul de radioprotection.

 

ANNEXES

(D’après Radiation dosimetry, Attix F., Roesch W., Academic Press, 1968.)

Bibliographie

 

• Jean Laborde (préf. de Jean Kuntzmann), Tables numériques de fonctions élémentaires, éd. Dunod, 1961 (rééd. 1968, 1976) – 149 pages
• André Delachet, Les logarithmes, Presses Universitaires de France, coll. « Que sais-je ? », 1960 (réimpr. 1964, 1968, 1972, 1977), 128 p., « Le calcul logarithmique », p. 47-80

 

 

« Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !

Immortel Archimède , artiste , ingénieux ,              

Qui de ton jugement peut priser ta valeur ?

Pour moi, ton problème eut de pareils avantages ! »

Le nombre pi est connu depuis l’antiquité, évidemment, pas au sens où nous l’entendons maintenant (notion abstraite de constante mathématique) mais en tant que rapport entre la longueur du cercle et son diamètre et d’ailleurs surtout en tant que méthode de calcul du périmètre du cercle (ou de l’aire du disque). Disons-le tout net, sans le nombre π, il n’y aurait pas de table ronde, de roue qui roule, pas de pleine lune, pas de 2πr ni de πr², pas de problèmes insolubles… et bien d’autres choses encore. l’histoire de π est aussi longue que la liste des nombres qui le composent.

En 2000 av. JC, les Babyloniens connaissaient π (comme le rapport constant entre la circonférence d’un cercle et son diamètre, mais pas comme objet mathématique). Ils avaient comme valeur 3 + 7/60 + 30/3600 (ils comptaient en base 60) soit 3 + 1/8 = 3,125.

Vers 1650 av.JC, les Egyptiens avaient comme valeur (16/9)2 qui vaut environ 3,16. Cette valeur a été retrouvée sur le fameux papyrus de Rhind, écrit par le scribe Ahmès, acheté par un Ecossais qui s’appelle … Henry Rhind. Il est conservé au British museum.

Le Papyrus de Rhind provient du temple mortuaire de Ramsès II à Thèbes, en Egypte (la ville où est érigé le temple de Karnak) et fut acheté par Alexander Rhind. Il a été écrit vers -1650 par le scribe Ahmès. Constitué de 14 feuilles de papyrus, il mesurait à l’origine plus de 5 m de longueur sur 32 cm de large. Il est le plus vieux traité de mathématiques du monde et contient 87 problèmes dont, par exemple, la décomposition des fractions en fractions unitaires (dont le numérateur est 1), de l’arithmétique (multiplications et divisions), résolution d’équations, l’arpentage (mesures des distances) et à la géométrie : aires planes (du trapèze en particulier), volumes de greniers à grains, calcul de pyramides .

Ensuite, π apparaît :

• En Chine vers 1200 av. JC, avec pour valeur 3.
• Dans la Bible vers 550 av. JC, avec pour valeur 3.
• En Grèce, avec en particulier Archimède en 250 av. JC qui donne l’encadrement 223/71 < pi < 22/7 et Ptolémée en 150 qui utilise 3 +8/60 + 30/3600 = 3,1416666.
• En Chine au Vème siècle, avec pour valeur 355/113 = 3,14159292.
• En Inde : 3 + 177/1250 = 3,1416 en 380 puis 3,16227 (racine carrée de 10) avec Brahmagupta en 640
• Au Moyen-Orient avec Al Khwarizmi en 800 (Ouzbekistan) et Al Kashi, professeur de mathématiques et d’astronomie en 1429 (Turkestan) qui calcule 14 décimales de pi. C’est un homme sain d’esprit qui fait des mathématiques partout et tout le temps. C’est en s’intéressant aux propriétés du cercle (des pièces de monnaie que lui rendait un épicier) qu’il fait le rapport entre son diaètre et son périmètre et trouve ainsi π=3,141 ou 3,142, ça dépend ! En effet lorsqu’il calcule la surface de la lune et qu’il divise le résultat par le rayon au carré, il trouve π=3,142. Le mois d’après, il refait son calcul et là, surprise ! il trouve π=3,141. Alors il décide de placer le cercle dans un carré, puis de dessiner un carré à l’intérieur du cercle !

Il en déduite alors l’encadrement de π :

Et par conséquent :

Et voilà ! Al Kashi a enfin pu se rapprocher de la véritable valeur de π.

• En Europe : l’Italien Fibonacci, en 1220, trouve la valeur 3,141818, au Pays-Bas avec Van Ceulen (20 décimales en 1596 puis 34 décimales en 1609 !), en France avec Viète (9 décimales en 1593).

Puis vint le développement des techniques de calculs avec l’analyse (dérivée, intégrales, sommes de séries, produits infinis …), Wallis en 1655, Newton (16 décimales en 1665), Gregory, Leibniz, John Machin (100 décimales en 1706), puis Euler (20 décimales calculées en une heure !) vers 1760 et beaucoup d’autres.

Les champions contemporains sont les frères Chudnovsky avec 4 milliards de décimales en 1994 et Kanada et Tamura dont le dernier record datait de 1999 avec 206 milliards de décimales (en environ 33 heures de calculs). Kanada a battu son propre record le 6 décembre 2002 avec une équipe de neuf autres chercheurs japonais du Information Technology Center de l’Université de Tokyo : 1 241 100 000 000 décimales ont été calculées à l’aide d’un super calculateur Hitachi (400 heures de calculs !) en utilisant un algorithme que l’équipe a mis cinq ans à mettre au point.

En réalité, toutes ces décimales ne servent à rien. En effet pour calculer la surface d’un cercle, ou sa circonférence, 4 ou 5 décimales suffisent !

En mathématiques parfois le résultat est moins intéressant que ce que l’on débusque sur son chemin… π a vu émerger de nombreuses questions et de drôles de réponses.

Les premiers calculs de décimales du nombre π

Les chiffres de π peuvent se retrouver en comptant le nombre de lettres dans le texte ci-dessous :

« Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !

3   1   4        1   5             9                2         6              5     3       5

Immortel Archimède , artiste , ingénieux ,

8                 9                        7                 9

Qui de ton jugement peut priser ta valeur ?

3     2       3         8                 4         6     2         5

Pour moi, ton problème eut de pareils avantages ! »

4        3       3           8             3      2        7                 9

C’est Archimède (né en 287 av. JC à Syracuse et mort en 212 av. JC), en 250 av.JC qui a réellement commencé à calculer des décimales du nombre π. Il est surtout le premier à avoir utilisé un algorithme pour le calcul. La méthode, qu’on appelle naturellement aujourd’hui la méthode d’Archimède, consiste à calculer le périmètre de polygones réguliers inscrits et circonscrits au cercle pour encadrer le périmètre du cercle et donc en déduire un encadrement de π. Il obtint ainsi

3+10/71 < pi < 3+1/7

La notation π est la première lettre du mot grec perimetron, périmètre ou perijereia, circonférence, périphérie.

Il y a plusieurs versions sur l’apparition du symbole, mais l’époque est toujours la même : vers 1600. William Oughtred (1574-1660) en 1647 et Isaac Barrow (1630-1677) utilisent le symbole π pour représenter le périmètre d’un cercle de diamètre 1. Un Allemand, Ludolph von Ceulen (1539-1610) utilisait déjà cette notation. Qui fut le premier ? Est-ce bien important ? Il serait néanmoins intéressant de savoir si ces personnes communiquaient et comment l’usage du symbole π s’est répandu.

En 1706, Jones l’utilise pour désigner le rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre (à cette époque , Bernoulli emploie la lettre c)

Euler , utilise la lettre π ,dans un ouvrage sur les séries, publié en latin en 1737 puis, en 1748, dans son ’’Introduction à l’analyse infinitésimale’’, ce qui imposa définitivement cette notation .
Nature algébrique de π.

π n’est pas un nombre décimal, c’est-à-dire que les chiffres après la virgule ne sont pas en nombre fini (pi a une infinité de décimales). La meilleure valeur décimale approchée de π connue actuellement comporte environ 1241 milliards de chiffres … Autant dire presque rien !

π est un nombre irrationnel, c’est-à-dire qu’il ne peut pas s’écrire comme une fraction de deux nombres entiers. Autrement dit, cela signifie aussi que les chiffres de π ne sont pas prévisibles. On ne peut pas deviner une décimale sans la calculer explicitement, comme on peut le faire par exemple avec le nombre 1/7 = 0,14285714285714.
L’irrationalité de π fut démontrée en 1761 par l’Allemand Lambert.

π est un nombre transcendant c’est-à-dire qu’il n’est solution d’aucune équation à coefficients rationnels. Cela fut démontré en 1881 par Lindemann.
La quadrature du cercle.

La quadrature du cercle est un des grands problèmes de géométrie de l’antiquité et l’est resté pendant longtemps. Il consiste à construire à la règle et au compas un carré de même aire qu’un disque de rayon donné, ce qui revient à construire le nombre (plus exactement le rapport) égal à la racine carrée de π. Si on prend 1 comme rayon du disque, l’aire est égale à π. Il faut donc trouver x le côté du carré tel que x² = π

Il fallut attendre la fin du XIXème siècle pour que Lindemann démontre que π est un nombre transcendant (c’est-à-dire qu’il n’est solution d’aucune équation à coefficients rationnels), ce qui prouve que π n’est pas constructible à la règle et au compas. En effet, si π était un nombre algébrique , il s’écrirait sous la forme d’une racine, et une racine est constructible à la règle et au compas (une racine carrée est constructible à la règle et au compas en utilisant des triangles rectangles)

Ce problème a laissé une trace derrière lui : l’expression ” résoudre la quadrature du cercle” est devenue synonyme de réaliser l’impossible.

Pour le commun des mortels …Tout le monde (enfin, … en principe !) connaît la formule qui donne le périmètre d’un cercle à partir de son diamètre ou de son rayon et du nombre π qui vaut quelque chose comme 3,1415926535… :

soit Périmètre du cercle = π x diamètre
et
soit Périmètre du cercle = π x 2 x rayon

Que l’on écrit 2π x rayon

D’où la définition classique de π qui est :

π (pi) est le rapport constant entre la longueur d’un cercle (le périmètre du cercle) et son diamètre (le double de son rayon) π = P/d.
ou encore π = P/2r
Ou bien encore, à partir de la formule permettant de calculer l’aire (la “surface”) d’un disque (le disque est la surface comprise à l’intérieur du cercle) à partir de son rayon : Aire d’un disque A = π x (rayon du cercle)²

soit A = πr²
On obtient la définition suivante de π (qui est équivalente à la précédente) :

π (pi) est le rapport constant entre l’aire d’un disque et le carré de son rayon π = A/r²

Pour le mathématicien ?… Alors là vous allez rire !

La définition n’est pas la même.

La définition donnée précédemment à l’aide du périmètre du cercle ou de l’aire du disque est ennuyeuse pour le mathématicien (qui est très joueur en réalité) car elle suppose que l’espace dans lequel on se place soit euclidien pour que le rapport “périmètre du cercle / diamètre” soit constant et indépendant du cercle choisi (ce qui n’est pas vrai lorsqu’on trace des cercles sur une sphère, par exemple) et également qu’une théorie de l’intégration soit développée sur cet espace pour pouvoir calculer le périmètre du cercle ou l’aire du disque.

Ça a l’air compliqué non ? Ça l’est un peu j’avoue!

Aussi les mathématiciens préfèrent-ils une définition basée sur l’analyse.

Évidemment, elle est équivalente à la définition précédente et on obtient toujours le même nombre π ! Encore heureux.

 

Voici quelques étrangetés trouvées dans les décimales de π ; on se gardera bien de les prendre au sérieux.

• 1+4+1+5+9+2+6+5+3+5+8+9+7+9+3+2+3+8+4+6 = 100
• Le «0» n’apparaît la première fois qu’en position 32 après la virgule, alors que tous les autres chiffres sont déjà représentés au moins une fois dans les 13 premières décimales. Pourquoi ce retard du «0» ?
• Les décimales de π à partir de la 762e sont 999999. Qu’il y ait six «9» consécutifs quelque part dans le premier million de décimales de π ne serait pas étonnant, mais que cela se produise avant la millième décimale, n’est-ce pas troublant?
• En additionnant les 144 premières décimales de π, on trouve 666. Faut-il en conclure que π est satanique?
• Parmi les 1 000 premiers entiers obtenus en prenant les décimales de π dans l’ordre 3, 31, 314, 3 141, 31 415, …, seuls quatre sont des nombres premiers. N’est-ce pas vraiment très peu?
• Parmi les 400 premières décimales de π, il n’y a que 24 «7», ce qui est peu par rapport aux 40 «7» attendus.
• Le groupe de trois décimales qui se termine à la position 315 est 315, et celui qui se termine à la position 360 est 360… Mystère !
• (π4 + π5)1/6 = 2,718281809, soit la constante népérienne e jusqu’à la septième décimale !

 

Et voici ci-dessous, après calcul, les 10 000 premières décimales de Pi :

Chaque paragraphe contient 10 lignes, et chaque ligne est composée de 100 décimales.

Chaque paragraphe contient donc 1000 décimales, et il y a 10 paragraphes en tout soit au total 10 000 décimales.

Vous cherchez la 2637ème décimale ? C’est facile : il s’agit du 37ème chiffre de la 6ème ligne du 2ème paragraphe.

Autre exemple : où se trouve la 7518ème décimale ?

• 7000 –> dans le 7 ème paragraphe
• 500 –> sur la 5 ème ligne
• 18 –> c’est le 18 ème chiffre Et c’est le chiffre 5 !

Aucune régularité ou périodicité n’a jamais été constatée dans les décimales de Pi. Cela signifie qu’une suite quelconque de chiffres a de grande chance de se trouver dans la suite des décimales de Pi. Par exemple, votre date de naissance, exprimée sous la forme d’une suite de 6 chiffres JJMMAA se trouve-t-elle dans ces 10 000 premières décimales de Pi ?

Vous pouvez aussi y rechercher toute autre suite de chiffres vous caractérisant, comme par exemple votre numéro de sécurité sociale ou votre numéro de téléphone. Bonne recherche !!

Π = 3,
1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679
8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196
4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273
7245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094
3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912
9833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132
0005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235
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5024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303
5982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989

3809525720106548586327886593615338182796823030195203530185296899577362259941389124972177528347913151
5574857242454150695950829533116861727855889075098381754637464939319255060400927701671139009848824012
8583616035637076601047101819429555961989467678374494482553797747268471040475346462080466842590694912
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1507606947945109659609402522887971089314566913686722874894056010150330861792868092087476091782493858
9009714909675985261365549781893129784821682998948722658804857564014270477555132379641451523746234364
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5679452080951465502252316038819301420937621378559566389377870830390697920773467221825625996615014215
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1005508106658796998163574736384052571459102897064140110971206280439039759515677157700420337869936007
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Le nombre pi est partout !

Nous pouvons expliquer les mathématiques avec un peu d’aide de la part nos amis félins.

Ces élégantes créatures possèdent naturellement l’intelligence de conceptualiser les mathématiques d’une manière originale.

Les Maths sont souvent déroutantes pour notre esprit humain, mais ces minous peuvent voir au travers des secrets géométriques.

Cela prouve tout simplement que les chats sont parfaits !

Triangle isocèle !

Quelle est la limite d’un chat lorsqu’il tend vers l’infini ?

Ce chat se nomme Pythagore !

Le mystère des valeurs exponentielles !

La perpendicularité parfaite

La tendresse est-elle mesurable ?

La parfaite tangente à une courbe !

Il a le nez pour la géométrie !

Le chat de Fibonacci !

ici encore, la séquence de Fibonacci !

La suite de Fibonacci prouve que les chats sont parfaits !

Retrouvez ici même, des énigmes amusantes, pour tous les âges et tous les niveaux jusqu’en terminale S,  qui vous feront réfléchir et passer un peu de temps. N’allez pas chercher les solutions sur internet, vous risquez d’être désagréablement surpris, les solutions sont parfois fausses ou tout simplement incompréhensibles…

Ici, il n’y a rien à gagner, ni de classement des meilleurs esprits, l’intérêt est de simplement faire travailler ses neurones.

Je place également EN FIN DE PAGE les solutions que j’ai trouvées personnellement et qui ne sont peut être pas les plus simples ou les plus évidentes pour vous. N’hésitez pas à me faire remonter vos remarques.

Si vous avez des énigmes sympas que je ne connais pas, n’hésitez pas à me les soumettre.

Sur la page, les énigmes vont de la plus récente à la plus ancienne !

Et comme je le dis régulièrement à mes élèves de mathématiques:

• LISEZ ATTENTIVEMENT LE TEXTE

Bien lire le texte est nécessaire pour traiter ce type de problèmes.

Les hypothèses données peuvent vous indiquer la méthode à utiliser.

• CHOISISSEZ BIEN LES INCONNUES

Bien choisir les inconnues. Il faut éviter d’en oublier ou même d’en rajouter d’inutiles.

Mal traduire les hypothèses et surtout en oublier est une cause d’erreur ou d’impasse possible.

• NE PAS PANIQUER DEVANT UN ÉNONCÉ LONG

Ne vous laissez pas impressionner par un texte qui peut paraître compliqué.

Dans ce type de problèmes, il y a souvent des informations qui ne servent pas forcément pour la résolution.

• FAITES ATTENTION AUX OUBLIS !

Ne pas oublier des informations non écrites mais qui sont liées à la nature du problème.

Une distance est un nombre positif ; Un nombre d’objet est un nombre entier ;

Tous les animaux n’ont pas le même nombre de pattes.

• AIDEZ VOUS TOUJOURS D’UNE FIGURE OU D’UN SCHÉMA

Si le problème a un support géométrique, ne pas faire de figure est une source supplémentaire de difficultés.

Souvent la figure est, en soi, un début de piste.

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ENIGME N° 28: (Solution plus bas)

ENIGME N° 27: (Solution plus bas)

Un père promet à son fils de lui offrir 5€ pour chaque bonne réponse mais le fiston devra lui donner 8€ à chaque mauvaise réponse.
Au bout de 26 questions, le père et le fils ne se doivent rien.

Combien le fils a-t-il donné de bonnes réponses ?

ENIGME N° 26: (Solution plus bas)

J’achète un tableau 40000€, je le revends 60000€.

Puis je le rachète 80000€ pour le revendre à 100000€.

Combien ai-je gagné ?

ENIGME N° 25: (Solution plus bas)

En se rendant à un point d’eau, un zèbre croise 6 girafes qui s’y rendaient également.

Chaque girafe portait sur son dos 3 singes.

Chaque singe portait 2 oiseaux qui eux-mêmes portaient chacun 4 mouches.
Combien d’animaux au total se retrouvent au point d’eau ?

ENIGME 24:(Solution plus bas)

Il faut 1min25s pour couper une bûche en deux.

Combien de temps faut-il pour couper une bûche en 13 morceaux ?

ENIGME 23:(Solution plus bas)

Quatre tapissiers font 4 tapis en 4 jours.
Combien faut-il de tapissiers pour faire 20 tapis en vingt jours ?

ENIGME 22:(Solution plus bas)

Un mathématicien dit à son facteur:
“J’ai trois filles. Le produit de leurs âges est égal à 36 et la somme de leurs âges égale le numéro de la maison située en face de la mienne. Pouvez-vous me donner leurs âges ?”
Le facteur réfléchit puis répond: “Mais il me manque une donnée !”
Le mathématicien rajoute alors:
“En effet, l’aînée s’appelle Charlotte.”
Le Facteur donne la réponse. Quelle est-elle ?

 

ENIGME 21: (Solution plus bas)

 

ENIGME 20: (Solution plus bas)

ENIGME 19: (Solution plus bas)

 

ENIGME 18

ÉNIGME N°17 (correction plus bas)

Deux trains, séparés de 200 km roulent l’un vers l’autre. Chacun avance à 50 km/h.
Une mouche part de l’avant de l’un d’eux et vole à la vitesse de 75 km/h jusqu’à ce qu’elle rencontre le second train. A ce moment-là, elle fait demi-tour, jusqu’à ce qu’elle rencontre le premier train, puis fait demi-tour jusqu’à ce qu’elle rencontre le second et ainsi de suite, jusqu’à ce que les trains la tuent en se croisant.

Quelle distance totale la mouche a-t-elle parcouru pendant ce vol ?

ÉNIGME N°16 (correction plus bas)

Il y a des porcs et des oies derrière la maison. On voit 72 têtes et 200 pieds. Combien y a-t-il de porcs ?

ÉNIGME N°15 (correction plus bas)

Mary adore les peluches. Elle en a même plusieurs en double. Mais compte tenu des indications du dessin, pourriez-vous les classer de la plus légère à la plus lourde ?

ÉNIGME N°14 (correction plus bas)

Deux frères ont hérité de 5 terrains carrés dont les côtés ont pour longueur cinq nombre entiers consécutifs.

Les terrains sont disposés en deux groupes le long d’une route : les trois “plus petits” d’un côté d’un chemin et les deux “plus grands” de l’autre côté du chemin.

Déterminer les dimensions des terrains telles que les aires de part et d’autre du chemin soient égales.

ÉNIGME N°13 (correction plus bas)

ÉNIGME N°12 (correction plus bas)

L’’herbe d’’un pré pousse partout avec même vitesse et la même densité. On sait que 70 vaches la mangent en 24 jours alors que 30 vaches la mangent en 60 jours.
Combien faudrait-il mettre de vaches dans le pré pour qu’elles mangent l’’herbe en 96 jours?

ÉNIGME N°11 (correction plus bas)

Quand Timothée aura l’âge qu’a maintenant son père, alors sa sœur sera deux fois plus vieille.

D’autre part, l’âge du père sera le double de l’âge de Timothée quand sa sœur aura l’âge actuel de son père. En outre, la somme de leurs âges est d’un siècle. Mais quel est l’âge de chacun?

ÉNIGME N°10 (correction plus bas)

Une épigramme grecque, publiée vers 369 dans L’Abrégé de l’Histoire Romaine d’Eutrope, propose de calculer l’âge de Diophante. Voici la traduction en alexandrins qu’en donne Emile Fourrey dans ses Récréations mathématiques.

Passant sous ce tombeau repose Diophante.
Ces quelques vers tracés par une main savante
Vont te faire connaître à quel âge il est mort.
Des jours assez nombreux que lui compta le sort,
Le sixième marqua le temps de son enfance;
Le douzième fut pris par son adolescence.
Des sept parts de sa vie, une encore s’écoula,
Puis s’étant marié, sa femme lui donna
Cinq ans après un fils, qui, du destin sévère,
Reçut de jours hélas! deux fois moins que son père.
De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci survécut.
Dis, si tu sais compter, à quel âge il mourut.

Saurez-vous calculer l’âge de Diophante?

ÉNIGME N°9 (correction plus bas)

L’océan Atlantique fait la moitié du Pacifique.

L’Arctique fait le quart de l’Atlantique.

L’Arctique et l’Antarctique font ensemble les deux cinquièmes de l’océan Indien, qui fait lui-même fait les neuf dixièmes de l’Atlantique.

Mais alors, combien faut-il d’océans Antarctique pour recouvrir tout le Pacifique?

ÉNIGME N°8 (correction plus bas)

J’ai toujours mal quelque part!

Un jour sur trois, j’ai mal au dos! Un jour sur quatre, j’ai mal aux dents! Un jour sur cinq, j’ai la migraine!

Et même, un jour sur six, je souffre de deux de ces maux!

Mais, le pire, c’est les jours maudits, où j’ai mal au dos, aux dents, et à la tête…

Au fait, quelle est leur fréquence?

ÉNIGME N°7 (correction plus bas)

5 chameaux boivent 5 bonbonnes d’eau en 5 jours.

7 dromadaires boivent 7 bonbonnes d’eau en 7 jours.

Mais qui boit le plus? Un chameau ou un dromadaire?

ÉNIGME N°6 (correction plus bas)

Avec 10 bougies brûlées, vous fabriquez 1 bougie neuve.

Combien de bougies aurez-vous fabriquez avec 1000 bougies ?

ÉNIGME N°5  (correction plus bas)

 

ÉNIGME N°4 (correction plus bas)

ÉNIGME N°3 (correction plus bas)

Résoudre :

ÉNIGME N°2  (correction plus bas)

ÉNIGME N°1  (correction plus bas)

Quelle est la moitié de 2 + 2 ?

Si vous trouvez 2, c’est une erreur !

---

SOLUTIONS DES ÉNIGMES

N°28

N°27

Soit x le nombre de bonnes réponses et y le nombre de mauvaises réponses.
Il y a 26 questions, donc : x + y = 26, soit y = 26 – x.
Le père donne a son fils 5€ par bonne réponse. Il donne en tout 5x euros.
Le fils lui rend 8€ par mauvaise réponse. Le fils donne en tout 8y euros.
A la fin, le père et le fils ne se doivent rien, donc : 5x = 8y.
En remplaçant y = 26 – x dans cette nouvelle équation, on obtient : 5x = 8(26 – x), soit :
5x = 208 – 8x
5x + 8x = 208
13x = 208
x = 208/13 = 16
Le fils a donc donné 16 bonnes réponses.

N°26

Deux bénéfices de 20 000€ font 40 000€.

N°25

205 animaux se trouvent au point d’eau.
En détail, cela donne : 1 zèbre + 6 girafes + 18 (3×6) singes + 36 (2×18) oiseaux + 144 (4×36) mouches.

N°24

Pour couper une bûche en 13 morceaux, il faut faire 12 coupes prenant chacune 1min25s, soit : 12 x 1min25s = 17min.

N°23

Si 4 tapissiers font 4 tapis en 4 jours,
alors 4 tapissiers font 4×5 tapis en 4×5 jours.
La réponse est donc 4 tapissiers.

Il y a proportionnalité entre le nombre de tapis et le nombre jours.

N°22

Le produit de leurs âges est = 36.

Décomposons 36 de façon à envisager toutes les solutions :

36 = 1 x 1 x 36

36 = 1 x 2 x 18

36 = 1 x 3 x 12

36 = 1 x 4 x 9

36 = 1 x 6 x 6

36 = 2 x 2 x 9

36 = 2 x 3 x 6

36 = 3 x 3 x 4

On a pour le moment 8 possibilités. Additionnons les âges.

1 + 1 + 36 = 38

1 + 2 + 18 = 21

1 + 3 + 12 = 16

1 + 4 + 9 = 14

1 + 6 + 6 = 13

2 + 2 + 9 = 13

2 + 3 + 6 = 11

3 + 3 + 4 = 10

Le facteur voit le numéro de la maison située en face de celle du mathématicien donc, comme il lui manque un indice, ce numéro est le 13 (c’est le seul numéro présent deux fois) et le facteur hésite entre :

1 an, 6 ans et 6 ans avec deux ainées jumelles,

2 ans, 2 ans et 9 ans.

L’aînée s’appelle Charlotte et est unique, la solution est : 2 ans, 2 ans et 9 ans.

N° 21

 

Pour cette énigme, il faut pas mal d’observation, un bon sens du classement, un peu de logique, une bonne connaissance des tables de multiplications et un peu de tâtonnement comme souvent en mathématiques.

Classons les équations de façon à ce que le premier terme de l’addition fasse une suite numérique croissante :

2 + 3 =8

3 + 7 = 27

4 + 5 = 32

5 + 8 = 60

6 + 7 = 72

7 + 8 = ?

On a bien 2, 3, 4, 5, 6, et 7.

En observant les termes à droite du signe =, on constate que tous les nombres sont des produits d’un nombre entier avec le premier terme de chaque addition. Exemple : 8 = 2 x 4 avec 2 le premier terme de 2 + 3 = 8. Il reste à trouver une forme d’algorithme qui permet de trouver 4 en manipulant 2 et 3 simplement, puis de comparer cet algorithme avec les propositions suivantes.

• Pour obtenir 4 avec 2 et 3  j’ai fait 4 = (2 + 3) -1 = 5 – 1 = 4, on aurait pu faire aussi (2 x 3) – 2 = 6 – 2 = 4.
• J’essaye avec la proposition suivante : 3 + 7 = 27, je constate que 3 x 9 = 27, je dois donc trouver 9 en manipulant 3 et 7, il se trouve que la première proposition ci dessus est valable, à savoir 9 = (3+7) – 1 = 10 – 1 alors que la seconde proposition ne fonctionne pas (3 x 7) – 2 = 19 et pas 27 …
• Je généralise mon algorithme en écrivant : a + b = a ((a + b) – 1)
• Je vérifie le fonctionnement de mon algorithme avec les autres propositions… Cela fonctionne !
• Ainsi, en applicant mon algorithme général aux nombre 7 et 8 je trouve avec a = 7 et b = 8,  7 + 8 = 7 x ((7 + 8) – 1) = 7 x (15 – 1) = 7 x 14 = 98

CQFD

N°20

Dans cette énigme, il est impératif de se souvenir des règles de priorité dans les calculs simples avec les opérations courantes. Que précisent ces règles ?

• La division et la multiplication sont prioritaires par rapport à l’addition (mais aussi par rapport à la soustraction).
• Dans le cas d’exercices avec des « parenthèses » notées « ( ) » ces dernières sont prioritaires sur tout le reste

Donc : 2/3 – 1/3 . (3/4) : 1/2 = 2/3 – 1/4 x 2 = 2/3 – 1/2 = 4/6 – 3/6 = 1/6

CQFD

N°19

On sait que 7 personnes ont un ordinateur et un téléphone allumés.

On en déduit que :

• 8 personnes ont seulement leur ordinateur d’allumé (15 – 7)
• 6 ont seulement leur téléphone d’allumé (13-7)

On sait aussi que 9 personnes n’ont aucun appareil allumé

Donc : 7  + 8 + 6 + 9 = 30 passagers (hors équipage)

CQFD

N° 18

 

N°17

L’erreur ici serait d’imaginer les aller-retours incessants que va faire notre mouche entre les deux trains. Il faut simplement ne pas se mettre à la place de la mouche, mais à la place des trains. C’est une erreur que font environ 99 % des personnes qui tentent de résoudre cette énigme. Et la solution des problèmes de maths vient très souvent d’un changement de place de l’observateur. Je m’explique:

Les trains vont l’un vers l’autre à la même vitesse et partent au même moment. Lorsqu’ils se croiseront ils auront parcouru la même distance soit la 1/2 de 200 Kms = 100 Kms. Comme ils roulent à 50 Km/h, ils auront roulé 2 heures avant de se croiser et de tuer la mouche.

Avant de se faire écraser, notre copine la mouche aura donc volé durant 2 heures. Sa vitesse étant de 75 Km/h, elle aura parcouru 150 Kms… CQFD

N° 16

Il s’agit d’un système de deux équations à deux inconnues.

Soit x le nombre de cochons et y le nombre d’oies.

On a 72 têtes d’animaux soit : x + y = 72 donc x = 72 – y

on a 2 pattes pour les oies donc : 2y en nombre de pattes

on a 4 pattes pour les cochons donc : 4x en nombre de pattes, ce qui fait : 2x + 4y = 200

On remplace x par sa valeur (72 – y) et on obtient : 2(72 – y) + 4y = 200 d’où on extrait y = 28 cochons… CQFD

N°15

Traduisons le dessin sous la forme d’inéquations. Soit C la masse du chat, E celle de l’écureuil, S celle de la souris, P celle du poussin et L celle du lapin…

On obtient :

1) S + S > E + L
2) S + E > S + P
3) L + L + P > E + S + C
4) C + P > E + L

D’après 2), S + E > S + P donc E > P.

L’écureuil est plus lourd que le poussin.

D’après 4), C + P > E + L, et comme E > P, C + P > E + L > P + L, soit C > L.

Le chat est plus lourd que le lapin.

D’après 3), L + L + P > E + S + C ; et comme C > L,
C + L + P > L + L + P > E + S + C, soit L + P > E + S.

Puisque L + P > E + S et que E > P, L + E > L + P > E + S, soit L > S.

Le lapin est donc plus lourd que la souris.

D’après 1), S + S > E + L. Et comme L > S, L + S > S + S > E + L, soit S > E.

Donc la souris est plus lourde que l’écureuil.

Ce qui donne, par ordre croissant,

Poussin < Ecureuil < Souris < Lapin < Chat… CQFD

N°14

N°13

N°12

Notons

Le problème nous donne les informations suivantes :

 

 

On souhaite trouver n qui est donné par :

 

A première vue, cela a l’air impossible, car on a trois inconnues (x,y et K) et seulement deux équations pour les déterminer. Mais en fait, ce qui nous intéresse vraiment, ce sont les valeurs de y/x et K/x. En effet, n est donné par la relation :

 

 

Mais le système initial se réécrit en :

 

 

Il est alors facile d’obtenir y/x = 10/3, K/x = 1600 et n = 20. Il faut donc 20 vaches pour brouter le pré en 96 jours! CQFD

N°11

On va se ramener à un système d’équation à 3 inconnues.

On notera x,y,z les âges respectifs de Timothée, de sa sœur, et de son père. La première équation, est facile à obtenir : puisque la somme des âges est égale à une siècle, on a

Analysons les autres phrases :

On résoud le système, en ayant déjà remarqué que z = 50. Il vient y = 50 − x et y = 2x, soit 100 = 3x, soit x = 50/3, et donc y = 100/3. CQFD

 

N°10

Notons x l’âge de Diophante. Les diverses informations données par le poème conduisent à l’équation suivante :

On obtient facilement la solution : x=84. CQFD

N°9

L’océan ‘indien fait les 9/20 du Pacifique, et donc Arctique et Antarctique ensemble font 18/100=9/50 du Pacifique.

Mais l’Arctique seul fait 1/4×1/2=1/8 du Pacifique. L’Antarctique fait donc 9/50-1/8=11/200 du Pacifique.

Il faut donc 200/11, soit un peu plus de 18, océans de la taille de l’Antarctique pour recouvrir tout le Pacifique. CQFD

N°8

C’est un simple calcul de fractions!

Soit f la fréquence où j’ai mal aux 3 endroits.

On a : 1=f+1/3+1/4+1/5+1/6.

D’où, en réduisant tout au même dénominateur, on a f=3/60=1/20 :

j’ai donc mal au dos, aux dents et à la tête un jour sur 20 ! CQFD

N°7

Un chameau boit un cinquième de bonbonne d’eau par jour, et un dromadaire boit un septième de bonbonne d’eau par jour. Les chameaux boivent donc beaucoup plus que les dromadaires! CQFD

N°6

Nous avons affaire à un outil particulier des mathématiques qui s’appelle le “calcul récursif”, méthode très utilisée en informatique. Détaillons le problème.

Nous savons que 10 bougies brûlées servent à produire 1 bougie. On nous en propose 1000. Avec ces 1000 on va fabriquer 100 bougies qui vont également servir à fabriquer 10 bougies avec lesquelles je fabriquerai 1 bougie. On constate alors que j’aurai bien fabriqué : 100 + 10 + 1 bougies, soit 111 bougies. CQFD

N°5

A peu près le même exercice qu’avec les pommes, les bananes et les noix de coco. Ici encore la possibilité de passer par un système d’équation du premier ordre. Définissons les inconnues. P = Pigeon, L = Lapin, C = Cochon.

• la première ligne s’écrit : P + L = 5
• la seconde ligne s’écrit C – P = 99
• la troisième ligne s’écrit 3 x L = 12, d’ou on extrait la valeur de L comme étant égale à 12/3 soit 4
• la dernière ligne s’écrit : P + C + L = ?

Connaissant L, on en déduit de la ligne 1, P = 5 – L = 5 – 4 = 1

Connaissant P, on en déduit de la ligne 2, C = 99 + P, C = 99 + 1 = 100

En final on obtient : P + C + L = 1 + 100 + 4 = 105 CQFD

N°4

La démonstration présentée parait tellement exacte qu’il est parfois difficile de trouver l’erreur et je reste persuadé que si l’on ne dit pas qu’il y a une erreur, on ressort convaincu de la véracité de la démonstration. C’est un peu le piège des mathématiques.

Jusqu’à la 7ème ligne tout est juste. On se retrouve avec 2 (a²-ab) = 1 (a² – ab), que l’on va simplifier en divisant chacun des membres à gauche comme à droite par (a² – ab) et finir par trouver (pour ne pas dire prouver) que 2 = 1 !

C’est ici qu’apparaît l’erreur impardonnable 😉 ! Lorsque on utilise un dénominateur constitué de valeurs supposées connues (des paramètres) il est impératif de s’assurer que ce dénominateur n’est pas égal à 0, auquel cas la division est tout simplement impossible.

Or, que nous dit-on en première ligne ? a = b. Par conséquent a x a = a² est égal à ab ce qui implique que a² – ab est = 0.

On n’a dons pas le droit de diviser par (a² – ab) puisque cet élément est nul.

C’est ici que se situait l’erreur de la démonstration ! CQFD

N°3

Pour cette énigme, il faut un bon sens de l’observation et ne pas se jeter comme un fou sur une solution qui parait sauter aux yeux. Prendre son temps pour analyser le problème c’est 80% de la résolution de l’exercice.

Nous sommes dans un cas typique de résolution d’équations du premier ordre sous forme de système. il faut définir les inconnues. Prenons P pour les pommes, B pour les bananes, et C pour la noix de coco.

• La première ligne est facile à résoudre, on a 3 x P = 30 d’ou l’on tire P = 30/3 = 10
• La seconde ligne doit être détaillée, on a 1 pomme et 2 régimes de bananes comprenant chacun 4 bananes, soit : P + (4B + 4B) = P + 8B = 18, comme P = 10, on en déduit que 8B = 18 – 10 = 8, => 8B = 8 et donc que B = 1
• La troisième ligne nous précise que 4B – 1 C = 2, donc B valant 1, 4 – C = 2, donc 4 – 2 = C = 2
• La dernière ligne nous permet de trouver le résultat suivant : 1C + 1P + 3B = 2 + 10 + (3 x 1) = 15   CQFD

N°2

Pour ce problème, pas besoin de passer par la notion de changement de base de calcul. c’est plus simple.

Voici ma façon de résoudre ce problème:

L’alphabet compte 26 lettres. On peut donc remarquer que l’on va changer de 1ère lettre toutes les 26 souris. En partant de AA la 26ème souris sera nommée AZ, la 52ème (2×26) souris sera BZ, la 78ème (3×26) se nommera CZ et ainsi de suite.

Si je divise 500 par 26, je trouve 19, reste 6. J’ai donc en réalité 19 x 26 = 494 et qui correspond à ma 494ème souris. elle se nommera SZ puisque S est la 19ème lettre de l’alphabet. La 495ème souris se nommera TA, la 496ème TB, la 497ème TC, la 48ème TD, la 499ème TE…

et la 500ème TF ! CQFD

N°1

Dans cette énigme, il est impératif de se souvenir des règles de priorité dans les calculs simples avec les opérations courantes. Que précisent ces règles ?

• la division et la multiplication sont prioritaires par rapport à l’addition (mais aussi par rapport à la soustraction).
• Dans le cas d’exercices avec des « parenthèses » notées « ( ) » ces dernières sont prioritaires sur tout le reste

On nous dit : Quelle est la moitié de 2 + 2 ? dans cet exercice il faut comprendre, (quelle est la moitié de 2) + 2, ainsi on trouve : (2/2) + 2 = 1 + 2 = 3

Il s’agit juste d’un problème de lecture correcte de l’énoncé. CQFD