Harris' blog

Introduction :

Nombre d’or, Section dorée, Divine proportion et autres appellations mystiques… sont des dénominations qui désignent un rapport arithmétique : le nombre d’or.

L’objectif de cet article n’est pas de redonner de quelconque lettres de noblesse à ce nombre, mais d’apporter quelques informations au lecteur. Cet article s’adresse à toute sorte de lecteurs : Du néophyte qui récupérera ce qui l’intéresse au plus calé en mathématiques.

Le nombre d’or n’est ni une mesure, ni une dimension, c’est simplement un rapport entre deux grandeurs homogènes.

Jean-Paul Delahaye, mathématicien à l’université de Lille, affirme (pour la Science Août 1999) que le chemin des mathématiques à la numérologie est dangereux parce que riche en interprétations…  En effet des milliers de pages ont été écrites sur le nombre d’or, baptisé Φ. On le désigne par la lettre grecque ( phi ) en hommage au sculpteur grec Phidias (né vers 490 et mort vers 430 avant J.C) qui décora le Parthénon à Athènes et c’est Théodore Cook qui introduisit cette notation en 1914. 

Il serait connu depuis la nuit des temps. On le retrouve chez les peintres du début du siècle, dans les cathédrales gothiques, sur les façades des temples grecs et même au cœur de la Grande Pyramide. On dit qu’il aurait même été transmis de bouche de pythagoriciens à oreilles d’initiés, comme un secret universel et immuable (il n’était pas considéré comme un nombre puisque seuls les entiers sont des nombres chez les grecs).

Que peuvent bien avoir en commun des phénomènes naturels aussi différents que l’agencement des graines d’une fleur de tournesol, l’élégante spirale dessinée par la coquille de certains mollusques et les bras de la Voie lactée, la galaxie qui nous accueille ? Quelle règle géométrique d’une inégalable harmonie se cache dans l’œuvre de grands artistes et architectes, de Vitruve à Le Corbusier en passant par de Vinci et Salvador Dali ? Aussi incroyable que cela puisse paraître, la réponse à ces deux questions est un simple nombre. Un nombre d’une humble apparence, qui apparaît continûment dans toutes les représentations naturelles et artistiques. Reproduire ce nombre à l’écrit est littéralement impossible, non pas parce qu’il est excessivement grand (il est à peine supérieur à 1) mais parce qu’il est composé d’un nombre infini de décimales, qui de surcroît ne suivent aucune règle.

Le nombre d’or est une proportion, définie initialement en géométrie comme l’unique rapport a/b entre deux longueurs a et b telles que le rapport de la somme a + b des deux longueurs sur la plus grande (a) soit égal à celui de la plus grande (a) sur la plus petite (b) c’est-à-dire lorsque :

Ainsi si a et b sont les deux grandeurs alors nous aurons :

 

alors, a/b = 1 + b/a
pour simplifier, prenons comme variable x = a/b.
alors nous obtenons :
x = 1 + 1/x
x – 1 – 1/x = 0
comme x est non nul, nous obtenons l’équation suivante que nous noterons
(E) :       x2 – x – 1 = 0
qui admet comme racine positive :
x = que nous notons Φ soit approximativement : 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 638 117 720 309 179 805 762 862 135 448 622 705 260 462 189 024 497 072 072 041…

Ce nombre fait partie de la famille des nombres irrationnels (que l’on ne peut pas écrire sous une forme fractionnaire).

Démonstration :

Pour le démontrer, je raisonner par l’absurde et je vais supposer que φ est rationnel, donc on peut écrire φ = a/b avec a et b premiers entre eux, et on devrait arriver à une contradiction.

Posons c = 2a−b ; on vérifie que le plus grand commun diviseur de c et b est 1 ou 2. Si (√5+1)/2 = a.b, alors √5 = (2a−b)/b = cb, c’est-à-dire 5b² = c² (1).

Il en résulte que c² est divisible par 5. Par suite (attention, c’est le point-clé de la démonstration !), c est divisible par 5 (de sorte que c² est en fait divisible par 25). Il existe donc un entier f tel que c = 5f ; on peut re-écrire (1) sous la forme 5b² = 25f², de sorte que b² = 5f² (2).

En répétant le même raisonnement, on voit qu’il existe un entier g tel que b = 5g.

En comparant les égalités c = 5f, b = 5g avec l’hypothèse impliquant que b et c n’ont pas de diviseur commun autre que 1 ou 2, on voit bien qu’il y a une contradiction ; c’est donc l’hypothèse de l’existence d’une paire a,b avec φ = a/b qui est absurde.

A première vue la « divine proportion » ne paraît pas trop impressionnante. À la vue de la racine de 5, un œil entraîné saurait qu’il y a anguille sous roche. En effet, cette racine présente une série de propriétés qui lui valurent le qualificatif peu aimable de nombre « irrationnel » – une classe spéciale de nombres dont nous aurons l’occasion de reparler plus précisément.

Nombre d’or et géométrie:

À la recherche du caractère divin du nombre d’or, nous pouvons tenter de l’approcher par une autre voie : celle de la géométrie.

On appelle division en moyenne et extrême raison la division d’un segment AB par un point intérieur P tel que AB/AP = AP/PB.

On dit encore que P est la section dorée du segment AB. Le découpage d’un segment en deux longueurs vérifiant cette propriété est appelé par Euclide découpage en « extrême et moyenne raison ».

Remarquons aussi que AP est la moyenne géométrique de AB et de PB. On peut vérifier que cette condition impose que les rapports AB/AP et AP/PB soient égaux au nombre d’or.

On dit souvent que pour l’œil, la division en moyenne et extrême raison est la plus agréable. Ceci rend le nombre d’or très important en architecture.

Autre exemple :

Il nous faut pour cela dessiner un rectangle dont la mesure du grand côté vaut celle du petit multipliée par 1,618 ; c’est-à-dire un rectangle dont la proportion des deux côtés est le nombre d’or (du moins sa valeur approximative). Si nous le faisons correctement, nous devrions arriver à un résultat similaire au suivant :

Soit un rectangle de longueur L, de largeur c. Ôtons lui un carré de côté C et on obtient :

Le rectangle est dit de divine proportion si pour ce rectangle comme pour le rectangle qu’il reste une fois le carré ôté, le rapport entre longueur et largeur est le même. On démontre que ce rapport ne peut alors être que le nombre d’or! Autrement dit :

 

Un rectangle qui répondrait à ces caractéristiques serait un « rectangle d’or ». À première vue, il peut ressembler à un rectangle banal. Faisons cependant une petite expérience avec deux cartes de crédit quelconques. Si nous disposons la première à l’horizontale et la seconde à la verticale, et que nous les alignons selon leurs bases, nous aurons ceci :

En effet, si nous traçons la diagonale de la première carte et la prolongeons sur la deuxième, aussi incroyable que cela paraisse, elle aboutit pile au sommet opposé de cette dernière. Si nous répétons l’expérience avec deux livres de même format, en particulier des manuels ou des livres de poche, il est fort probable que nous obtenions le même résultat. Cette caractéristique est propre aux rectangles d’or de même taille.

Ainsi, de nombreux objets de forme rectangulaire qui font notre quotidien ont été façonnés en fonction de la divine proportion. Simple hasard ? Peut-être. À moins que les rectangles et les autres formes géométriques qui respectent cette proportion ne soient, pour une raison ou pour une autre, particulièrement harmonieux.

 

Le nombre d’or, et la géométrie des polygones réguliers :

Le pentagone régulier et le pentagramme :

Dans un cercle, on peut inscrire deux pentagones réguliers : un pentagone régulier convexe (en rouge sur le dessin), et un pentagone régulier étoilé (en bleu).

On peut montrer que le rapport du côté du pentagone étoilé au côté du pentagone convexe est égal au nombre d’or (AC / AB). Le pentagone régulier étoilé – qu’on appelle aussi pentagramme était le symbole des Pythagoriciens.

Le décagone régulier : Dans un cercle, on peut inscrire deux décagones réguliers, le décagone régulier convexe et le décagone régulier étoilé.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Le rapport du côté du décagone étoilé au rayon du cercle est égal au rapport du rayon du cercle par le côté du décagone convexe et est égal au nombre d’or!

Le nombre d’or véritable petit nirvana arithmétique aurait même été une voie privilégiée de communication avec l’au-delà… C’est vous dire !

 

Architecture et nombre doré :

L’encre a déjà abondamment coulé pour lever le voile sur le mystère que cache le sourire le plus célèbre de l’histoire de l’art. Mais on peut aussi envisager une solution géométrique à l’énigme. Voyons ce qui se passerait si nous superposions plusieurs rectangles d’or sur le visage de la belle Joconde :

Léonard de Vinci avait-il en tête la proportion d’or quand il réalisa son œuvre maîtresse ? L’affirmer serait aventureux. Il serait moins risqué de se contenter de dire que le génie florentin accordait une grande importance à la relation entre l’esthétique et les mathématiques. Nous laisserons cette question de côté pour le moment. Mais précisons tout de même que Léonard réalisa les illustrations d’une œuvre au contenu purement mathématique, écrite par son ami Luca Pacioli et intitulée De divina proportione, c’est-à-dire La Divine Proportion.

Aujourd’hui, De Vinci n’est plus le seul artiste dont l’œuvre laisse entrevoir les diverses manifestations de la proportion d’or, que ce soit à travers le rapport des côtés d’un rectangle ou dans des formes géométriques plus complexes. De nombreux peintres ont fait appel après lui à ces fondements théoriques. En témoignent le pointilliste Georges Seurat ou le préraphaélite Edward Burne-Jones. Salvador Dali, quant à lui, réalisa avec sa toile La Cène une œuvre extraordinaire dans laquelle la divine proportion joue un grand rôle. Il ne s’agit pas seulement des dimensions de la toile, 268 par 167 cm, soit un rectangle d’or quasi parfait, mais surtout du monumental dodécaèdre qui préside la scène sacrée. Les solides réguliers qui comme celui-là s’inscrivent parfaitement dans une sphère sont intimement liés au nombre d’or, comme nous le verrons dans le troisième chapitre.

La toile Une baignade à Asnières (1884) de Georges Seurat est un rectangle d’or. Certains éléments qui le forment sont eux- mêmes insérés dans des rectangles d’or, comme le montrent les lignes blanches ci-dessus.

De nombreux tableaux seraient conçus selon les règles de la “divine proportion” (expression datant de 1509 avec Léonard de Vinci). Parmi les artistes de la Renaissance, Dürer est un de ceux qui connaissait les mathématiques. Il fit évoluer les proportions de “ses nus d’Adam et Eve” (figure ci-dessous), entre 1504 et 1507 après avoir été initié à la “secretissima scienta” par un maître dont il ne voulut pas révéler le nom mais qui fut sans doute le frère franciscain Luca Pacioli qui publia en 1494 la grande encyclopédie du XVe siècle.

Certains peintres comme Salvador Dali (Sacrement de la dernière cène), la composition se devait alors de mettre en valeur le sujet tout en produisant une circulation du regard afin de créer, au cœur de la toile, une harmonie absolue.
Dali a placé La Cène dans un dodécaèdre régulier, symbole de l’Univers pour Platon. Le dodécaèdre possède 12 faces et il y a 12 apôtres !
L’organisation du tableau suit la règle de proportion régie par le nombre d’or. Le point de fuite est situé à la tête du Christ.

Cirque de Georges Seurat (Musée d’Orsay 1890-1891).
Les lignes horizontales tracées dans le tableau ont des grandeurs proportionnelles à Φ. Il en serait de même pour la loge délimitée par des lignes de couleur rouge vif formant un rectangle d’or. L’utilisation du nombre d’or dans ce tableau est opposée aux lignes courbes du personnage central du tableau ainsi qu’aux autres acrobates. Le nombre d’or met donc en valeurs les lignes géométriques des bancs.

On le retrouve également dans des rythmes musicaux
Aux mesures traditionnelles à deux ou à trois temps, 2/1 ou 3/2 s’ajoutent des éléments rythmiques de type 5/3 ou 8/5 (jazz ou musique orientale…)
Nous retrouvons la suite 1-1 2-3-5-8… de Fibonacci.

Ou dans des structures musicales
De nombreux exemples montrent que la proportion des diverses parties d’une œuvre est souvent réglée dans le rapport 8/5, voisin de ?. C’est le cas chez Haydn, Mozart ou Beethoven.

Voir même des rythmes poétiques
Dans la métrique des vers, soit par la césure, soit par l ’alternance de vers ayant un nombre de pieds différents, nous retrouvons les nombres de la suite traditionnelle de Fibonacci.

Que j ’aime voir, chère indolente,
De ton corps si beau, (8/5)
Charles Beaudelaire

Dans la nuit éternelle | emportés sans retour ( ou 1/1)
Ne pourrons nous jamais sur l ’océan des âges.
Jeter l ’ancre un seul jour (12/6=2/1)
Lamartine

Avant de me dire ta peine O poète ! En es-tu guéri ? La Muse (12/8 = 3/2)
Alfred de Musset

En réalité avec quelques approximations il est très facile d’approcher le nombre d’or.
Marguerite Neveux a démontré qu’en réalité les artistes divisaient leurs toiles en huitièmes, ce qui est très facile, puis en 4/8 et en 5/8 qui est très proche du nombre d’or à 7 millièmes près. Cette petite différence a suffi à créer bien des rêves dorés et à déchaîner des passions qui retombent actuellement (les fractales sont aujourd’hui plus motivantes).
Notons que le format le plus utilisé est le fameux 21/29.7… (A4, A3,…) seul format qui plié en deux garde la même forme : rapport .
Tout de même le nombre d’or a des propriétés mathématiques bien réelles et on le retrouve dès qu’on a une symétrie d’ordre 5.
Nous allons en découvrir quelques unes de ses propriétés mathématiques.

Intéressons-nous maintenant à la discipline reine des arts appliqués, l’architecture.

S’il ne fait aucun doute que la proportion d’or recèle une notion d’harmonie à caractère universel, nous devrions aussi la retrouver dans les tracés géométriques sous-jacents aux édifices et aux constructions. En est-il ainsi ? Une fois de plus, il est risqué de l’affirmer de façon catégorique. À la manière d’une dame coquette qui prendrait plaisir à voiler ses charmes, le ratio d’or laisse sentir sa présence dans beaucoup de grandes oeuvres architecturales de toutes les époques, comme la Grande pyramide ou quelques-unes des cathédrales françaises parmi les plus remarquables, sans pour autant se révéler totalement. Cependant, il est difficile de rester sceptique à l’examen détaillé de la façade de l’oeuvre majeure de Phidias : le Parthénon. On découvre avec ravissement que les divers éléments qui la composent se déclinent en autant de rectangles d’or.

Le rapport de la hauteur de la pyramide de Khéops par sa demi-base est le nombre d’or.
Il semble que ceci soit vrai, en dehors de toute considération ésotérique.
D’après Hérodote, des prêtres égyptiens disaient que les dimensions de la grande pyramide avaient été choisies telles que : “Le carré construit sur la hauteur verticale égalait exactement la surface de chacune des faces triangulaires”

 

 

 

 

 

Au moyen âge, les bâtisseurs de cathédrales utilisaient une pige constituées de cinq tiges articulées, correspondant chacune à une unité de mesure de l’époque, relatives au corps humain : la paume, la palme, l’empan, le pied et la coudée.

Les longueurs au moyen âge étaient donnée en lignes, une ligne mesurant environ 2 mm (précisément 2,247 mm) : Pour passer d’une mesure à la suivante, on peut vérifier que l’on multiplie par le nombre d’or.

 

 

 

 

Le secret des roses :

Le choix du nombre d’or comme étalon de mesure d’un modèle idéal de beauté n’est pas uniquement un caprice humain. Même la nature semble conférer à ϕ un rôle spécial quand il s’agit de « choisir » une forme plutôt qu’une autre. Pour s’en apercevoir, il faut approfondir un peu plus les propriétés du nombre d’or. Prenons notre rectangle d’or comme point de départ. Retirons un carré dont le côté est égal à la largeur du rectangle. Nous obtiendrons ainsi un nouveau rectangle d’or, de taille plus petite. Si nous répétons le processus plusieurs fois, nous obtiendrons la figure suivante :

Traçons maintenant des quarts de cercle dont le rayon est égal au côté de chacun des carrés de la figure précédente, avec pour centre leur sommet respectif. Nous aurons ainsi la figure suivante :

Cette courbe sinueuse est une bonne approximation d’une courbe appelée spirale logarithmique. Loin d’être une simple curiosité mathématique, elle peut s’observer très facilement dans notre environnement, (même si toutes ne sont pas reliées au nombre d’or) de la coquille d’un escargot…

… à la forme des bras des galaxies…

 

φ et Fibonacci:

Fibonacci est né à Pise en 1175. Son vrai nom est Léonardo Pisano, ou Léonard de Pise. Fibonacci est un surnom qui vient de filius Bonacci qui veut dire fils de Bonacci.
(Bonacci signifie chanceux , de bonne fortune). c’est l’un des plus grands mathématiciens du moyen-âge.
C’est lui qui a introduit la numération décimale et l’écriture arabe des chiffres en Occident, en ramenant dans son livre Liber abaci, les connaissances acquises en Algérie où travaillait son père.

Il existe la formule ci-dessous qui donne directement le n^ième nombre de Fibonacci sans connaître les précédents. On y voit clairement apparaître le nombre d’or.

 

 

 

Remarque : le terme est plus petit que 1 donc la partie de la formule tend vers zéro quand n devient grand (faites l’expérience en augmentant n au fur et à mesure).
Par conséquent, pour connaître F_n quand n est grand, il suffit de prendre la partie entière de .

Les nombres de Fibonacci forment une suite de nombres que l’on appelle suite de Fibonacci. Un nombre de la suite s’obtient en ajoutant les deux nombres précédents de la suite :

si on note F_n le n^ème nombre de Fibonacci, F_n = F_{n – 1} + F_{n – 2}
Voila les premiers nombres de la suite : F₁ = 1 ; F₂ = 1 ; F₃ = 2 ; F₄ = 3 ; …etc

indice n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	…	…
Fn	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	…	…

Soit : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, 1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, …

Le nom de “suite de Fibonacci” a été donné par l’arithméticien français Edouard Lucas en 1817, alors qu’il étudiait ce qu’on appelle aujourd’hui les “suites de Fibonacci généralisées” obtenues en changeant les deux premiers termes de la suite de Fibonacci et qui suivent le même procédé de construction.
La plus simple d’entre elles, dont les deux premiers termes sont 1 et 3, s’appelle aujourd’hui … la suite de … Lucas ! (Elle commence par 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, …). Les suites de Fibonacci et de Lucas sont très liées.

Quotient de 2 nombres successifs de Fibonacci:
Si on calcule les valeurs des quotients ; ; ; … ; ; … c’est-à-dire les quotients , on remarque que l’on obtient des nombres de plus en plus proches les uns des autres (sans jamais être égaux !) et se rapprochent du nombre d’or.

On peut démontrer que la suite des quotients a pour limite le nombre d’or lorsque n tend vers l’infini. En effet, la suite de Fibonacci définie par    F₁ = 1 ; F₂ = 1 et F_n = F_{n – 1} + F_{n – 2}  pour n > 2, est une suite récurrente linéaire d’ordre 2.

Si on pose F_n = a * qⁿ , avec q>0 et a non-nul, et que l’on reporte dans dans l’égalité F_n = F_{n – 1} + F_{n – 2} , on obtient a*qⁿ = a*q^n-1 + a*q^n-2 soit q² = q + 1 en simplifiant par a*q^n-2 et q est la solution positive de l’équation , c’est-à dire le nombre d’or .

A partir de l’équation , on peut obtenir facilement .
En reportant l’expression de x obtenue à la place du x au dénominateur, on obtient le développement en fraction continue du nombre d’or. On le note couramment [ 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , … ] sous sa forme normalisée (les dénominateurs ne doivent être que des 1)

Ces fractions s’approchent de plus en plus du nombre d’or :
= 2 ; = 3/2 ; = 5/3 ; = 8/5 ; = 13/8 …
Que voit-on apparaître ? … Fibonacci !
Les fractions obtenues sont les rapports de nombres de deux Fibonacci successifs
( Il n’y a rien de mystérieux la-dedans en réalité. Essayez de calculer plus de fractions et vous trouverez vite un raccourci qui vous expliquera tout ! )

Carré du nombre d’or
Pour calculer le carré du nombre d’or, il suffit de lui ajouter 1 :

Inverse du nombre d’or
Pour calculer l’inverse du nombre d’or, il suffit de lui retrancher 1 :
Puissances du nombre d’or

Que voit-on encore apparaître ? Eh oui ! Fibonacci ! Les puissances du nombre d’or s’expriment en fonction de φ et de 1 et les coefficients ne sont autres que les nombres de Fibonacci.

Il existe même une formule qui relie π et le nombre φ :

Le nombre d’or apparaît traditionnellement en phyllotaxie, cette branche de la botanique qui étudie l’ordre dans lequel sont implantées les feuilles le long de la tige d’une plante, ou l’agencement des fleurons et écailles dans diverses fleurs et fruits (pomme de pin, tournesol, ananas, choux—fleur, …). Certains auteurs font remonter l’étude théorique de ces arrangements à un article de 1837 des frères Bravais, l’un étant physicien et l’autre botaniste.

Plus récemment, on trouve aussi le nombre d’or jouant un rôle crucial dans des travaux de physiciens concernant les quasicristaux.

Le nombre d’or a également nourri les analyses, l’imagination et les fantasmes de divers auteurs intéressés par (l’histoire de) l’art, l’architecture, ou les proportions du corps humain (statues et individus vivants). Il en est résulté une immense littérature foisonnante à profusion. Ce qu’on y trouve va de la remarque éclairante aux rumeurs aussi coriaces que fantaisistes ; il semble par exemple que toute « découverte » du nombre d’or dans les proportions du Parthénon nécessite un aveuglement intellectuel, voire une tromperie militante.

Il y a une notion de nombre d’or en astronomie, qui n’a « rien à voir » avec la notion discutée ci—dessus. Chaque année possède son nombre d’or, qui est un entier entre 1 et 19, et qui permet de situer les mois lunaires par rapport au calendrier usuel. Il se trouve qu’une période de 19 années est en bonne approximation un nombre entier de mois lunaires, plus précisément 19 années =235 mois lunaires = 6940 jours selon le calendrier du cylce métonique introduit à Athènes en 432 avant J.-C. et connu en Babylonie vers 490 avant J.-C. Le nombre d’or de l’année 2008 était 14, et celui de 2009 est 15.